algorithm-base/animation-simulation/二分查找及其变种/二分查找详解.md

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### 什么是二分？

废话不多说，让导演帮我们把镜头切到袁记菜馆吧！

袁记菜馆内。。。。

> 店小二：掌柜的，您进货回来了呀，哟！今天您买这鱼挺大呀！
>
> 袁厨：那是，这是我今天从咱们江边买的，之前一直去菜市场买，那里的老贵了，你猜猜我今天买的多少钱一条。
>
> 店小二：之前的鱼，30 个铜板一条，今天的我猜 26 个铜板。
>
> 袁厨：贵了。
>
> 店小二：还贵呀！那我猜 20 个铜板！
>
> 袁厨：还是贵了。
>
> 店小二：15 个铜板。
>
> 袁厨：便宜了
>
> 店小二：18 个铜板
>
> 袁厨：恭喜你猜对了

上面的例子就用到了我们的二分查找思想，如果你玩过类似的游戏，那二分查找理解起来肯定很轻松啦，下面我们一起征服二分查找吧！

# **完全有序**

## 二分查找

> 二分查找也称折半查找（Binary Search），是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。我们可以从定义可知，运用二分搜索的前提是数组必须是有序的，这里需要注意的是，我们的输入不一定是数组，也可以是数组中某一区间的起始位置和终止位置

通过上面二分查找的定义，我们知道了二分查找算法的作用及要求，那么该算法的具体执行过程是怎样的呢？

下面我们通过一个例子来帮助我们理解。我们需要在 nums 数组中，查询元素 8 的索引

```java
int[ ]  nums = {1,3,4,5,6,8,12,14,16}; target = 8
```

> （1）我们需要定义两个指针分别指向数组的头部及尾部，这是我们在整个数组中查询的情况，当我们在数组
>
> 某一区间进行查询时，可以输入数组，起始位置，终止位置进行查询。

![二分查找1](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/b58d55a34b32a342f652792297a1e4d7.png)

> （2）找出 mid，该索引为 mid =（left + right）/ 2，但是这样写有可能溢出，所以我们需要改进一下写成
>
> mid = left +（right - left）/ 2 或者 left + ((right - left ) >> 1) 两者作用是一样的，都是为了找到两指针的中
>
> 间索引，使用位运算的速度更快。那么此时的 mid = 0 + (8-0) / 2 = 4

![二分查找2](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5354d4c9ea5e5bd28a77a202b4dd3445.png)

> （3）此时我们的 mid = 4，nums[mid] = 6 < target,那么我们需要移动我们的 left 指针，让 left = mid + 1，下次则可以在新的 left 和 right 区间内搜索目标值，下图为移动前和移动后

![](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/97c584c48d6c1c06dffb94c6481f82c6.png)

> （4）我们需要在 left 和 right 之间计算 mid 值，mid = 5 + （8 - 5）/ 2 = 6 然后将 nums[mid] 与 target 继续比较，进而决定下次移动 left 指针还是 right 指针，见下图

![二分查找3](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/471b4093db0233e41d4875fc6b2e4359.png)

> （5）我们发现 nums[mid] > target，则需要移动我们的 right 指针， 则 right = mid - 1；则移动过后我们的 left 和 right 会重合，这里是我们的一个重点大家需要注意一下，后面会对此做详细叙述。

![二分查找4](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2145730bf3a6373f1cf60da628bf85e6.png)

> （6）我们需要在 left 和 right 之间继续计算 mid 值，则 mid = 5 +（5 - 5）/ 2 = 5 ，见下图，此时我们将 nums[mid] 和 target 比较，则发现两值相等，返回 mid 即可 ，如果不相等则跳出循环，返回 -1。

![二分查找6](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0aba81887cfbc25ce9a859ba8137cd4a.png)

二分查找的执行过程如下

1.从已经排好序的数组或区间中，取出中间位置的元素，将其与我们的目标值进行比较，判断是否相等，如果相等

则返回。

2.如果 nums[mid] 和 target 不相等，则对 nums[mid] 和 target 值进行比较大小，通过比较结果决定是从 mid

的左半部分还是右半部分继续搜索。如果 target > nums[mid] 则右半区间继续进行搜索，即 left = mid + 1; 若

target < nums[mid] 则在左半区间继续进行搜索，即 right = mid -1；

**动图解析**

![二分查找2](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/eb648f86b4ada5b32afc7a52e78d9953.gif)

下面我们来看一下二分查找的代码，可以认真思考一下 if 语句的条件，每个都没有简写。

```java
 public static int binarySearch(int[] nums,int target,int left, int right) {
        //这里需要注意，循环条件
        while (left <= right) {
            //这里需要注意，计算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }else if (nums[mid] < target) {
                //这里需要注意，移动左指针
                left  = mid + 1;
            }else if (nums[mid] > target) {
                //这里需要注意，移动右指针
                right = mid - 1;
            }
        }
        //没有找到该元素，返回 -1
        return -1;
    }
```

二分查找的思路及代码已经理解了，那么我们来看一下实现时容易出错的地方

1.计算 mid 时 ，不能使用 （left + right ）/ 2,否则有可能会导致溢出

2.while (left < = right) { } 注意括号内为 left <= right ,而不是 left < right ，我们继续回顾刚才的例子，如果我们设置条件为 left < right 则当我们执行到最后一步时，则我们的 left 和 right 重叠时，则会跳出循环，返回 -1，区间内不存在该元素，但是不是这样的，我们的 left 和 right 此时指向的就是我们的目标元素 ，但是此时 left = right 跳出循环

3. left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid。我们思考一下这种情况,见下图，当我们的 target 元素为 16 时，然后我们此时 left = 7 ，right = 8，mid = left + (right - left) = 7 + (8-7) = 7，那如果设置 left = mid 的话，则会进入死循环，mid 值一直为 7 。

![二分查找出差](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d7ff6aba9a1e9d673ae24667823d5770.png)

下面我们来看一下二分查找的递归写法

```java
public static int binarySearch(int[] nums,int target,int left, int right) {

        if (left <= right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                //查找成功
                return  mid;
            }else if (nums[mid] > target) {
                //新的区间,左半区间
                return binarySearch(nums,target,left,mid-1);
            }else if (nums[mid] < target) {
                //新的区间，右半区间
                return binarySearch(nums,target,mid+1,right);
            }
        }
        //不存在返回-1
        return -1;
    }
```