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# 二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

1. 对于根结点，左子树中所有结点的值 $<$ 根结点的值 $<$ 右子树中所有结点的值；
2. 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 `1.` ；

![binary_search_tree](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)

## 二叉搜索树的操作

### 查找结点

给定目标结点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 `cur` ，从二叉树的根结点 `root` 出发，循环比较结点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系

- 若 `cur.val < val` ，说明目标结点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` ；
- 若 `cur.val > val` ，说明目标结点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` ；
- 若 `cur.val = val` ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；

=== "Step 1"

    ![bst_search_1](binary_search_tree.assets/bst_search_1.png)

=== "Step 2"

    ![bst_search_2](binary_search_tree.assets/bst_search_2.png)

=== "Step 3"

    ![bst_search_3](binary_search_tree.assets/bst_search_3.png)

=== "Step 4"

    ![bst_search_4](binary_search_tree.assets/bst_search_4.png)

二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。

=== "Java"

    ```java title="binary_search_tree.java"
    /* 查找结点 */
    TreeNode search(int num) {
        TreeNode cur = root;
        // 循环查找，越过叶结点后跳出
        while (cur != null) {
            // 目标结点在 root 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 目标结点在 root 的左子树中
            else if (cur.val > num) cur = cur.left;
            // 找到目标结点，跳出循环
            else break;
        }
        // 返回目标结点
        return cur;
    }
    ```

### 插入结点

给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树 “左子树 < 根结点 < 右子树” 的性质，插入操作分为两步：

1. **查找插入位置：** 与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 $\text{null}$ ）时跳出循环；

2. **在该位置插入结点：** 初始化结点 `num` ，将该结点放到 $\text{null}$ 的位置 ；

二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。

![bst_insert](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)

=== "Java"

    ```java title="binary_search_tree.java"
    /* 插入结点 */
    TreeNode insert(int num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (root == null) return null;
        TreeNode cur = root, pre = null;
        // 循环查找，越过叶结点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重复结点，直接返回
            if (cur.val == num) return null;
            pre = cur;
            // 插入位置在 root 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 插入位置在 root 的左子树中
            else cur = cur.left;
        }
        // 插入结点 val
        TreeNode node = new TreeNode(num);
        if (pre.val < num) pre.right = node;
        else pre.left = node;
        return node;
    }
    ```

为了插入结点，需要借助 **辅助结点 `prev`** 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 $\text{null}$ 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。

与查找结点相同，插入结点使用 $O(\log n)$ 时间。

### 删除结点

与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的 “左子树 < 根结点 < 右子树” 的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：

**待删除结点的子结点数量 $= 0$ 。** 表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。

![bst_remove_case1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)

**待删除结点的子结点数量 $= 1$ 。** 将待删除结点替换为其子结点。

![bst_remove_case2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)

**待删除结点的子结点数量 $= 2$ 。** 删除操作分为三步：

1. 找到待删除结点在 **中序遍历序列** 中的下一个结点，记为 `nex` ；
2. 在树中递归删除结点 `nex` ；
3. 使用 `nex` 替换待删除结点；

=== "Step 1"

    ![bst_remove_case3_1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_1.png)

=== "Step 2"

    ![bst_remove_case3_2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_2.png)

=== "Step 3"

    ![bst_remove_case3_3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_3.png)

=== "Step 4"

    ![bst_remove_case3_4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_4.png)

删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。

=== "Java"

    ```java title="binary_search_tree.java"
    /* 删除结点 */
    TreeNode remove(int num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (root == null) return null;
        TreeNode cur = root, pre = null;
        // 循环查找，越过叶结点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待删除结点，跳出循环
            if (cur.val == num) break;
            pre = cur;
            // 待删除结点在 root 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 待删除结点在 root 的左子树中
            else cur = cur.left;
        }
        // 若无待删除结点，则直接返回
        if (cur == null) return null;
        // 子结点数量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
            TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
            // 删除结点 cur
            if (pre.left == cur) pre.left = child;
            else pre.right = child;
        }
        // 子结点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
            TreeNode nex = min(cur.right);
            int tmp = nex.val;
            // 递归删除结点 nex
            remove(nex.val);
            // 将 nex 的值复制给 cur
            cur.val = tmp;
        }
        return cur;
    }
    /* 获取最小结点 */
    TreeNode min(TreeNode root) {
        if (root == null) return root;
        // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
        while (root.left != null) {
            root = root.left;
        }
        return root;
    }
    ```

## 二叉搜索树的优势

假设给定 $n$ 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：

- **查找元素：** 由于数组是乱序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
- **插入元素：** 只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间；
- **删除元素：** 先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
- **获取最小 / 最大元素：** 需要遍历数组来确定，使用 $O(1)$ 时间；

为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：

- **查找元素：** 由于数组已排序，可以使用二分查找，使用 $O(\log n)$ 时间；
- **插入元素：** 为了保持数组是有序的，需插入到数组某位置，平均使用 $O(n)$ 时间；
- **删除元素：** 与乱序数组中的情况相同，使用 $O(n)$ 时间；
- **获取最小 / 最大元素：** 数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间；

观察发现，乱序数组和排序数组中的各类操作的时间复杂度是 “偏科” 的，即有的快有的慢；**而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 很大时有巨大优势**。

<div class="center-table" markdown>

|                     | 乱序数组 | 排序数组    | 二叉搜索树  |
| ------------------- | -------- | ----------- | ----------- |
| 查找指定元素        | $O(n)$   | $O(\log n)$ | $O(\log n)$ |
| 插入元素            | $O(1)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
| 删除元素            | $O(n)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
| 获取最小 / 最大元素 | $O(n)$   | $O(1)$      | $O(\log n)$ |

</div>

## 二叉搜索树的退化

二叉搜索树的理想状态是「完美二叉树」，我们称这样的二叉树是 “平衡” 的，此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意结点。

如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，**则可能导致二叉树退化为链表**，此时各种操作的时间复杂度也退化之 $O(n)$ 。

!!! note

    在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。

![bst_degradation](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)

## 二叉搜索树常见应用

- 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
- 各种搜索算法的底层数据结构。
- 存储数据流，保持其已排序。