Add merge sort, and sorting algorithm.

docs/chapter_sorting/index.md

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+---
+comments: true
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+
+# 排序算法
+
+「排序算法 Sorting Algorithm」使得列表中的所有元素按照从小到大的顺序排列。
+
+- 待排序的列表的 **元素类型** 可以是整数、浮点数、字符、或字符串；
+- 排序算法可以根据需要设定 **判断规则** ，例如数字大小、字符 ASCII 码顺序、自定义规则；
+
+![sorting_examples](index.assets/sorting_examples.png)
+
+<p align="center"> Fig. 排序中的不同元素类型和判断规则 </p>
+
+## 评价维度
+
+排序算法主要可根据 **稳定性 、就地性 、自适应性 、比较类** 来分类。
+
+### 稳定性
+
+- 「稳定排序」在完成排序后，**不改变** 相等元素在数组中的相对顺序。
+- 「非稳定排序」在完成排序后，相等素在数组中的相对位置 **可能被改变**。
+
+假设我们有一个存储学生信息当表格，第 1, 2 列粉笔是姓名和年龄。那么在以下示例中，「非稳定排序」会导致输入数据的有序性丢失。因此「稳定排序」是很好的特性，**在多级排序中是必须的**。
+
+```shell
+# 输入数据是按照姓名排序好的
+# (name, age)
+  ('A', 19)
+  ('B', 18)
+  ('C', 21)
+  ('D', 19)
+  ('E', 23)
+
+# 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表，
+# 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变，
+# 输入数据按姓名排序的性质丢失
+  ('B', 18)
+  ('D', 19)
+  ('A', 19)  
+  ('C', 21)
+  ('E', 23)
+```
+
+### 就地性
+
+- 「原地排序」无需辅助数据，不使用额外空间；
+- 「非原地排序」需要借助辅助数据，使用额外空间；
+
+「原地排序」不使用额外空间，可以节约内存；并且一般情况下，由于数据操作减少，原地排序的运行效率也更高。
+
+### 自适应性
+
+- 「自适应排序」的时间复杂度受输入数据影响，即最佳 / 最差 / 平均时间复杂度不相等。
+- 「非自适应排序」的时间复杂度恒定，与输入数据无关。
+
+我们希望 **最差 = 平均** ，即不希望排序算法的运行效率在某些输入数据下发生劣化。
+
+### 比较类
+
+- 「比较类排序」基于元素之间的比较算子（小于、相等、大于）来决定元素的相对顺序。
+- 「非比较类排序」不基于元素之间的比较算子来决定元素的相对顺序。
+
+「比较类排序」的时间复杂度最优为 $O(n \log n)$ ；而「非比较类排序」可以达到 $O(n)$ 的时间复杂度，但通用性较差。
+
+## 理想排序算法
+
+- **运行地快**，即时间复杂度低；
+- **稳定排序**，即排序后相等元素的相对位置不变化；
+- **原地排序**，即运行中不使用额外的辅助空间；
+- **正向自适应性**，即算法的运行效率不会在某些输入数据下发生劣化；
+
+然而，**没有排序算法同时具备以上所有特性**。排序算法的选型使用取决于具体的列表类型、列表长度、元素分布等因素。

docs/chapter_sorting/merge_sort.md

@@ -6,31 +6,59 @@ comments: true
 
 「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：
 
-1. **划分：** 不断递归地 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
+1. **划分阶段：** 通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
 
-2. **合并：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左 / 右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
+2. **合并阶段：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
 
-（图）
+![merge_sort_preview](merge_sort.assets/merge_sort_preview.png)
+
+<p align="center"> Fig. 归并排序两阶段：划分与合并 </p>
 
 ## 算法流程
 
-**递归划分：** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；
+**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；
 
 1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）；
 2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；
 
-**回溯合并：** 从底至顶将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；由于是从长度为 1 的子数组开始合并的，因此 **每个子数组也是有序的** ，因此合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** ；
+**「回溯合并」** 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；
 
-1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后序通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
-2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
-3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。
+需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的** 。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** 。
 
-合并代码的实现主要难点：
+=== "Step1"
+    ![merge_sort_step1](merge_sort.assets/merge_sort_step1.png)
 
-- **`nums` 的待合并区间为 `[left, right]`** ，而由于 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，因此 **`tmp` 对应区间为 `[0, right - left]`** 。以下代码中的 `leftStart` , `leftEnd` , `rightStart` , `rightEnd` , `i` , `j` 都是根据 `tmp` 定义的，而 `k` 是根据 `nums` 定义的。
-- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。
+=== "Step2"
+    ![merge_sort_step2](merge_sort.assets/merge_sort_step2.png)
 
-（动画）
+=== "Step3"
+    ![merge_sort_step3](merge_sort.assets/merge_sort_step3.png)
+
+=== "Step4"
+    ![merge_sort_step4](merge_sort.assets/merge_sort_step4.png)
+
+=== "Step5"
+    ![merge_sort_step5](merge_sort.assets/merge_sort_step5.png)
+
+=== "Step6"
+    ![merge_sort_step6](merge_sort.assets/merge_sort_step6.png)
+
+=== "Step7"
+    ![merge_sort_step7](merge_sort.assets/merge_sort_step7.png)
+
+=== "Step8"
+    ![merge_sort_step8](merge_sort.assets/merge_sort_step8.png)
+
+=== "Step9"
+    ![merge_sort_step9](merge_sort.assets/merge_sort_step9.png)
+
+=== "Step10"
+    ![merge_sort_step10](merge_sort.assets/merge_sort_step10.png)
+
+观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。
+
+- **后序遍历：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
+- **归并排序：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。
 
 === "Java"
 
@@ -41,10 +69,14 @@ comments: true
      * 右子数组区间 [mid + 1, right]
      */
     void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
-        int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);     // 初始化辅助数组
-        int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left,         // 左子数组的起始索引和结束索引
-            rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;  // 右子数组的起始索引和结束索引
-        int i = leftStart, j = rightStart;                // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+        // 初始化辅助数组
+        int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);   
+        // 左子数组的起始索引和结束索引  
+        int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
+        // 右子数组的起始索引和结束索引       
+        int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
+        // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
+        int i = leftStart, j = rightStart;                
         // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
         for (int k = left; k <= right; k++) {
             // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
@@ -72,6 +104,17 @@ comments: true
     }
     ```
 
+下面重点解释一下合并方法 `merge()` 的流程：
+
+1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后续通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
+2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
+3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。
+
+合并方法 `merge()` 代码中的主要难点：
+
+- `nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而因为 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，所以 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` ，**需要特别注意代码中各个变量的含义**。
+- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。
+
 ## 算法特性
 
 - **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
@@ -87,7 +130,4 @@ comments: true
 - 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
 - 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；
 
-!!! quote
-
-    详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)
-
+> 详情参考：[<u>148. 排序链表</u>](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)

docs/chapter_sorting/summary.md

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+# 小结
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