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2022-11-24 01:12:14 +08:00
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docs/chapter_sorting/merge_sort.md
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@@ -6,31 +6,59 @@ comments: true
「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：
1. **划分：** 不断递归地 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
1. **划分阶段：** 通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
2. **合并：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左 / 右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
2. **合并阶段：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
（图）
![merge_sort_preview](merge_sort.assets/merge_sort_preview.png)
<p align="center"> Fig. 归并排序两阶段：划分与合并 </p>
## 算法流程
**递归划分：** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；
**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；
1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）；
2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；
**回溯合并：** 从底至顶将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；由于是从长度为 1 的子数组开始合并的，因此 **每个子数组也是有序的** ，因此合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** ；
**「回溯合并」** 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；
1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后序通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。
需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的** 。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** 。
合并代码的实现主要难点：
=== "Step1"
![merge_sort_step1](merge_sort.assets/merge_sort_step1.png)
- **`nums` 的待合并区间为 `[left, right]`** ，而由于 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，因此 **`tmp` 对应区间为 `[0, right - left]`** 。以下代码中的 `leftStart` , `leftEnd` , `rightStart` , `rightEnd` , `i` , `j` 都是根据 `tmp` 定义的，而 `k` 是根据 `nums` 定义的。
- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。
=== "Step2"
![merge_sort_step2](merge_sort.assets/merge_sort_step2.png)
（动画）
=== "Step3"
![merge_sort_step3](merge_sort.assets/merge_sort_step3.png)
=== "Step4"
![merge_sort_step4](merge_sort.assets/merge_sort_step4.png)
=== "Step5"
![merge_sort_step5](merge_sort.assets/merge_sort_step5.png)
=== "Step6"
![merge_sort_step6](merge_sort.assets/merge_sort_step6.png)
=== "Step7"
![merge_sort_step7](merge_sort.assets/merge_sort_step7.png)
=== "Step8"
![merge_sort_step8](merge_sort.assets/merge_sort_step8.png)
=== "Step9"
![merge_sort_step9](merge_sort.assets/merge_sort_step9.png)
=== "Step10"
![merge_sort_step10](merge_sort.assets/merge_sort_step10.png)
观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。
- **后序遍历：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
- **归并排序：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。
=== "Java"
@@ -41,10 +69,14 @@ comments: true
* 右子数组区间 [mid + 1, right]
*/
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // 初始化辅助数组
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left, // 左子数组的起始索引和结束索引
rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; // 右子数组的起始索引和结束索引
int i = leftStart, j = rightStart; // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
// 初始化辅助数组
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
@@ -72,6 +104,17 @@ comments: true
}
```
下面重点解释一下合并方法 `merge()` 的流程：
1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后续通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。
合并方法 `merge()` 代码中的主要难点：
- `nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而因为 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，所以 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` ，**需要特别注意代码中各个变量的含义**。
- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。
## 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
@@ -87,7 +130,4 @@ comments: true
- 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
- 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；
!!! quote
详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)
> 详情参考：[<u>148. 排序链表</u>](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)