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docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md

@@ -0,0 +1,43 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 算法效率评估
+
+## 算法评价维度
+
+在开始学习算法之前，我们首先要想清楚算法的设计目标是什么，或者说，如何来评判算法的好与坏。整体上看，我们设计算法时追求两个层面的目标。
+
+1. **找到问题解法。** 算法需要能够在规定的输入范围下，可靠地求得问题的正确解。
+2. **寻求最优解法。** 同一个问题可能存在多种解法，而我们希望算法效率尽可能的高。
+
+换言之，在可以解决问题的前提下，算法效率则是主要评价维度，包括：
+
+- **时间效率** ，即算法的运行速度的快慢。
+- **空间效率** ，即算法占用的内存空间大小。
+
+数据结构与算法追求 “运行地快、内存占用少” ，而如何去评价算法效率则是非常重要的问题。
+
+## 效率评估方法
+
+### 实际测试
+
+假设我们现在有算法 A 和 算法 B ，都能够解决同一问题，现在需要对比两个算法之间的效率。我们能够想到的最直接的方式，就是找一台计算机，把两个算法都完整跑一遍，并监控记录运行时间和内存占用情况。这种评估方式能够反映真实情况，但是也存在很大的硬伤。
+
+**难以排除测试环境的干扰因素。** 硬件配置会影响到算法的性能表现。例如，在某台计算机中，算法 A 比算法 B 运行时间更短；但换到另一台配置不同的计算机中，可能会得到相反的测试结果。这意味着我们需要在各种机器上展开测试，而这是不现实的。
+
+**展开完整测试非常耗费资源。** 随着输入数据量的大小变化，算法会呈现出不同的效率表现。比如，有可能输入数据量较小时，算法 A 运行时间短于算法 B ，而在输入数据量较大时，测试结果截然相反。因此，若想要达到具有说服力的对比结果，那么需要输入各种体量数据，这样的测试需要占用大量计算资源。
+
+### 理论估算
+
+既然实际测试具有很大的局限性，那么我们是否可以仅通过一些计算，就获知算法的效率水平呢？答案是肯定的，我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐进复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。
+
+**复杂度分析评估随着输入数据量的增长，算法的运行时间和占用空间的增长趋势** 。根据时间和空间两方面，复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。
+
+**复杂度分析克服了实际测试方法的弊端。** 一是独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。二是可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是可以反映大数据量下的算法性能。
+
+## 复杂度分析的重要性
+
+复杂度分析给出一把评价算法效率的 “标尺” ，告诉我们执行某个算法需要多少时间和空间资源，也让我们可以开展不同算法之间的效率对比。
+
+计算复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度出发，其并不适合作为第一章内容。但是，当我们讨论某个数据结构或者算法的特点时，难以避免需要分析它的运行速度和空间使用情况。**因此，在展开学习数据结构与算法之前，建议读者先对计算复杂度建立起初步的了解，并且能够完成简单案例的复杂度分析**。

docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -0,0 +1,361 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 空间复杂度
+
+「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势** 。这个概念与时间复杂度很类似。
+
+## 算法相关空间
+
+算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：
+
+- 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
+- 「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；
+- 「输出空间」用于存储算法的输出数据；
+
+!!! tip
+
+    通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
+
+暂存空间可分为三个部分：
+
+- 「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 **常量、变量、对象** 等。
+- 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。
+- 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，**在实际统计中一般忽略不计**。
+
+![space_types](space_complexity.assets/space_types.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 算法使用的相关空间 </p>
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 类 */
+    class Node {
+        int val;
+        Node next;
+        Node(int x) { val = x; }
+    }
+    
+    /* 函数（或称方法） */
+    int function() {
+        // do something...
+        return 0;
+    }
+    
+    int algorithm(int n) {        // 输入数据
+        final int a = 0;          // 暂存数据（常量）
+        int b = 0;                // 暂存数据（变量）
+        Node node = new Node(0);  // 暂存数据（对象）
+        int c = function();       // 栈帧空间（调用函数）
+        return a + b + c;         // 输出数据
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+## 推算方法
+
+空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计 “计算操作数量” 变为统计 “使用空间大小” 。与时间复杂度不同的是，**我们一般只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
+
+**最差空间复杂度中的 “最差” 有两层含义**，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。
+
+- **以最差输入数据为准。** 当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但是当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
+- **以算法运行过程中的峰值内存为准。** 程序在执行最后一行之前，使用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    void algorithm(int n) {
+        int a = 0;                   // O(1)
+        int[] b = new int[10000];    // O(1)
+        if (n > 10)
+            int[] nums = new int[n]; // O(n)
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。** 例如函数 `loop()`，在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而使用 $O(n)$ 的栈帧空间。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    int function() {
+        // do something
+        return 0;
+    }
+    /* 循环 */
+    void loop(int n) {
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            function();
+        }
+    }
+    /* 递归 */
+    void recur(int n) {
+        if (n == 1) return;
+        return recur(n - 1);
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+## 常见类型
+
+设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
+
+$$
+\begin{aligned}
+O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
+\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
+\end{aligned}
+$$
+
+![space_complexity_common_types](space_complexity.assets/space_complexity_common_types.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 空间复杂度的常见类型 </p>
+
+!!! tip
+
+    部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
+
+### 常数阶 $O(1)$
+
+常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
+
+需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="space_complexity_types.java"
+    /* 常数阶 */
+    void constant(int n) {
+        // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
+        final int a = 0;
+        int b = 0;
+        int[] nums = new int[10000];
+        ListNode node = new ListNode(0);
+        // 循环中的变量占用 O(1) 空间
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            int c = 0;
+        }
+        // 循环中的函数占用 O(1) 空间
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            function();
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="space_complexity_types.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="space_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+### 线性阶 $O(n)$
+
+线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="space_complexity_types.java"
+    /* 线性阶 */
+    void linear(int n) {
+        // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
+        int[] nums = new int[n];
+        // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
+        List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            nodes.add(new ListNode(i));
+        }
+        // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
+        Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            map.put(i, String.valueOf(i));
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="space_complexity_types.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="space_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="space_complexity_types.java"
+    /* 线性阶（递归实现） */
+    void linearRecur(int n) {
+        System.out.println("递归 n = " + n);
+        if (n == 1) return;
+        linearRecur(n - 1);
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="space_complexity_types.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="space_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![space_complexity_recursive_linear](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
+
+### 平方阶 $O(n^2)$
+
+平方阶常见于元素数量与 $n$ 成平方关系的矩阵、图。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="space_complexity_types.java"
+    /* 平方阶 */
+    void quadratic(int n) {
+        // 矩阵占用 O(n^2) 空间
+        int numMatrix[][] = new int[n][n];
+        // 二维列表占用 O(n^2) 空间
+        List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
+            for (int j = 0; j < n; j++) {
+                tmp.add(0);
+            }
+            numList.add(tmp);
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="space_complexity_types.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="space_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorihtm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体使用 $O(n^2)$ 空间。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="space_complexity_types.java"
+    /* 平方阶（递归实现） */
+    int quadraticRecur(int n) {
+        if (n <= 0) return 0;
+        int[] nums = new int[n];
+        System.out.println("递归 n = " + n + " 中的 nums 长度 = " + nums.length);
+        return quadraticRecur(n - 1);
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="space_complexity_types.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="space_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![space_complexity_recursive_quadratic](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_quadratic.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
+
+### 指数阶 $O(2^n)$
+
+指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的结点数量为 $2^n - 1$ ，使用 $O(2^n)$ 空间。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="space_complexity_types.java"
+    /* 指数阶（建立满二叉树） */
+    TreeNode buildTree(int n) {
+        if (n == 0) return null;
+        TreeNode root = new TreeNode(0);
+        root.left = buildTree(n - 1);
+        root.right = buildTree(n - 1);
+        return root;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="space_complexity_types.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="space_complexity_types.py"
+
+    ```
+
+![space_complexity_exponential](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 满二叉树下的指数阶空间复杂度 </p>
+
+### 对数阶 $O(\log n)$
+
+对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。
+
+例如「归并排序」，长度为 $n$ 的数组可以形成高度为 $\log n$ 的递归树，因此空间复杂度为 $O(\log n)$ 。
+
+再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。

docs/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md

@@ -0,0 +1,79 @@
+# 权衡时间与空间
+
+理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能够达到最优，而实际上，同时优化时间复杂度和空间复杂度是非常困难的。
+
+**降低时间复杂度，往往是以提升空间复杂度为代价的，反之亦然。** 我们把牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，称之为「以时间换空间」。选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。大多数情况下，内存空间不会成为算法瓶颈，因此以空间换时间更加常用。
+
+## 示例题目 *
+
+以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例，「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别为 **空间最优** 和 **时间最优** 的两种解法。本着时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。
+
+### 方法一：暴力枚举
+
+时间复杂度 $O(N^2)$ ，空间复杂度 $O(1)$ ，属于「时间换空间」。
+
+虽然仅使用常数大小的额外空间，但运行速度过慢。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="leetcode_two_sum.java"
+    public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
+        int size = nums.length;
+        // 外层 * 内层循环，时间复杂度为 O(n)
+        for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
+            for (int j = i + 1; j < size; j++) {
+                if (nums[i] + nums[j] == target)
+                    return new int[] { i, j };
+            }
+        }
+        return new int[0];
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="leetcode_two_sum.py"
+    
+    ```
+
+### 方法二：辅助哈希表
+
+时间复杂度 $O(N)$ ，空间复杂度 $O(N)$ ，属于「空间换时间」。
+
+借助辅助哈希表 dic ，通过保存数组元素与索引的映射来提升算法运行速度。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="leetcode_two_sum.java"
+    public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
+        int size = nums.length;
+        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
+        Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
+        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
+        for (int i = 0; i < size; i++) {
+            if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
+                return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
+            }
+            dic.put(nums[i], i);
+        }
+        return new int[0];
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="leetcode_two_sum.py"
+    
+    ```

docs/chapter_computational_complexity/summary.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 小结
+
+### 算法效率评估
+
+- 「时间效率」和「空间效率」是算法性能的两个重要的评价维度。
+- 我们可以通过「实际测试」来评估算法效率，但难以排除测试环境的干扰，并且非常耗费计算资源。
+- 「复杂度分析」克服了实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且可以体现不同数据大小下的算法效率。
+
+### 时间复杂度
+
+- 「时间复杂度」统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣性。
+- 「最差时间复杂度」使用大 $O$ 符号表示，即函数渐进上界，其反映当 $n$ 趋于正无穷时，$T(n)$ 处于何种增长级别。
+- 推算时间复杂度分为两步，首先统计计算操作数量，再判断渐进上界。
+- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n \log n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ , $O(n!)$ 。
+- 某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为「最差时间复杂度」和「最佳时间复杂度」，后者几乎不用，因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。
+- 「平均时间复杂度」可以反映在随机数据输入下的算法效率，最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布，以及综合后的数学期望。
+
+### 空间复杂度
+
+- 与时间复杂度的定义类似，「空间复杂度」统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。
+
+- 算法运行中相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，空间复杂度不计入输入空间。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间一般在递归函数中才会影响到空间复杂度。
+- 我们一般只关心「最差空间复杂度」，即统计算法在「最差输入数据」和「最差运行时间点」下的空间复杂度。
+- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ 。

docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -0,0 +1,695 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 时间复杂度
+
+## 统计算法运行时间
+
+运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 **准确预估一段代码的运行时间** ，该如何做呢？
+
+1. 首先需要 **确定运行平台** ，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些都会影响到代码的运行效率。
+2. 评估 **各种计算操作的所需运行时间** ，例如加法操作 `+` 需要 1 ns ，乘法操作 `*` 需要 10 ns ，打印操作需要 5 ns 等。
+3. 根据代码 **统计所有计算操作的数量** ，并将所有操作的执行时间求和，即可得到运行时间。
+
+例如以下代码，输入数据大小为 $n$ ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 $6n + 12$ ns 。
+
+$$
+1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n  = 6n + 12
+$$
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    // 在某运行平台下
+    void algorithm(int n) {
+        int a = 2;  // 1 ns
+        a = a + 1;  // 1 ns
+        a = a * 2;  // 10 ns
+        // 循环 n 次
+        for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
+            System.out.println(0);     // 5 ns
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+但实际上， **统计算法的运行时间既不合理也不现实。** 首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。
+
+## 统计时间增长趋势
+
+「时间复杂度分析」采取了不同的做法，其统计的不是算法运行时间，而是 **算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势** 。
+
+“时间增长趋势” 这个概念比较抽象，我们借助一个例子来理解。设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法 `A` , `B` , `C` 。
+
+- 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。
+- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大成线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。
+- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，但运行时间仍与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为「常数阶」。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
+    void algorithm_A(int n) {
+        System.out.println(0);
+    }
+    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
+    void algorithm_B(int n) {
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            System.out.println(0);
+        }
+    }
+    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
+    void algorithm_C(int n) {
+        for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
+            System.out.println(0);
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p>
+
+相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？
+
+**时间复杂度可以有效评估算法效率。** 算法 `B` 运行时间的增长是线性的，在 $n > 1$ 时慢于算法 `A` ，在 $n > 1000000$ 时慢于算法 `C` 。实质上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这也正是时间增长趋势的含义。
+
+**时间复杂度分析将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」。** 这是因为，无论是运行平台、还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因此，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的 “单位时间” 。
+
+**时间复杂度也存在一定的局限性。** 比如，虽然算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 `B` 比 `C` 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 $n$ 比较小时，算法 `B` 是要明显优于算法 `C` 的。即使存在这些问题，计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。
+
+## 函数渐进上界
+
+设算法「计算操作数量」为 $T(n)$  ，其是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数。例如，以下算法的操作数量为
+$$
+T(n) = 3 + 2n
+$$
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    void algorithm(int n) {
+        int a = 1;  // +1
+        a = a + 1;  // +1
+        a = a * 2;  // +1
+        // 循环 n 次
+        for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
+            System.out.println(0);    // +1
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+$T(n)$ 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。
+
+我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，代表函数 $T(n)$ 的「渐进上界 asymptotic upper bound」。
+
+我们要推算时间复杂度，本质上是在计算「操作数量函数 $T(n)$ 」的渐进上界。下面我们先来看看函数渐进上界的数学定义。 
+
+!!! abstract "函数渐进上界"
+
+    若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有
+    $$
+    T(n) \leq c \cdot f(n)
+    $$
+    则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐进上界，记为 
+    $$
+    T(n) = O(f(n))
+    $$
+
+![asymptotic_upper_bound](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 函数的渐进上界 </p>
+
+本质上看，计算渐进上界就是在找一个函数 $f(n)$ ，**使得在 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别（仅相差一个常数项 $c$ 的倍数）**。
+
+!!! tip
+
+    渐进上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，无需担心，因为在实际使用中我们只需要会推算即可，数学意义可以慢慢领悟。
+
+## 推算方法
+
+推算出 $f(n)$ 后，我们就得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么，如何来确定渐进上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步，首先「统计操作数量」，然后「判断渐进上界」。
+
+### 1. 统计操作数量
+
+对着代码，从上到下一行一行地计数即可。然而，**由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数偷懒技巧：
+
+1. **跳过数量与 $n$ 无关的操作。** 因为他们都是 $T(n)$ 中的常数项，对时间复杂度不产生影响。
+2. **省略所有系数。** 例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次、……，都可以化简记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。
+3. **循环嵌套时使用乘法。** 总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。
+
+根据以下示例，使用上述技巧前、后的统计结果分别为
+$$
+\begin{aligned}
+T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
+& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
+T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
+\end{aligned}
+$$
+最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 $O(n^2)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    void algorithm(int n) {
+        int a = 1;  // +0（技巧 1）
+        a = a + n;  // +0（技巧 1）
+        // +n（技巧 2）
+        for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
+            System.out.println(0);
+        }
+        // +n*n（技巧 3）
+        for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
+            for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
+                System.out.println(0);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    
+    ```
+
+### 2. 判断渐进上界
+
+**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。
+
+以下表格给出了一些例子，其中有一些夸张的值，是想要向大家强调 **系数无法撼动阶数** 这一结论。在 $n$ 趋于无穷大时，这些常数都是 “浮云” 。
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+| 操作数量 $T(n)$         | 时间复杂度 $O(f(n))$   |
+| ---------------------- | -------------------- |
+| $100000$               | $O(1)$               |
+| $3n + 2$               | $O(n)$               |
+| $2n^2 + 3n + 2$        | $O(n^2)$             |
+| $n^3 + 10000n^2$       | $O(n^3)$             |
+| $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$             |
+
+</div>
+
+## 常见类型
+
+设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型有（从低到高排列）
+
+$$
+\begin{aligned}
+O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
+\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
+\end{aligned}
+$$
+
+![time_complexity_common_types](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 时间复杂度的常见类型 </p>
+
+!!! tip
+
+    部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
+
+### 常数阶 $O(1)$
+
+常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。
+
+对于以下算法，无论操作数量 `size` 有多大，只要与数据大小 $n$ 无关，时间复杂度就仍为 $O(1)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 常数阶 */
+    int constant(int n) {
+        int count = 0;
+        int size = 100000;
+        for (int i = 0; i < size; i++)
+            count++;
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+### 线性阶 $O(n)$
+
+线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 线性阶 */
+    int linear(int n) {
+        int count = 0;
+        for (int i = 0; i < n; i++)
+            count++;
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
+
+!!! tip
+
+    **数据大小 $n$ 是根据输入数据的类型来确定的。** 比如，在上述示例中，我们直接将 $n$ 看作输入数据大小；以下遍历数组示例中，数据大小 $n$ 为数组的长度。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 线性阶（遍历数组） */
+    int arrayTraversal(int[] nums) {
+        int count = 0;
+        // 循环次数与数组长度成正比
+        for (int num : nums) {
+            count++;
+        }
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+### 平方阶 $O(n^2)$
+
+平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，总体为 $O(n^2)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 平方阶 */
+    int quadratic(int n) {
+        int count = 0;
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            for (int j = 0; j < n; j++) {
+                count++;
+            }
+        }
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![time_complexity_constant_linear_quadratic](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度 </p>
+
+以「冒泡排序」为例，外层循环 $n - 1$ 次，内层循环 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $\frac{n}{2}$ 次，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
+
+$$
+O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
+$$
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 平方阶（冒泡排序） */
+    void bubbleSort(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
+            for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
+                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
+                    // 交换 nums[j] 和 nums[j + 1]
+                    int tmp = nums[j];
+                    nums[j] = nums[j + 1];
+                    nums[j + 1] = tmp;
+                }
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+### 指数阶 $O(2^n)$
+
+!!! note
+
+    生物学科中的 “细胞分裂” 即是指数阶增长：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后为 $2$ 个，分裂两轮后为 $4$ 个，……，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
+
+指数阶增长地非常快，在实际应用中一般是不能被接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度是 $O(2^n)$ ，那么一般都需要使用「动态规划」或「贪心算法」等算法来求解。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 指数阶（遍历实现） */
+    int exponential(int n) {
+        int count = 0, base = 1;
+        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            for (int j = 0; j < base; j++) {
+                count++;
+            }
+            base *= 2;
+        }
+        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![time_complexity_exponential](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 指数阶的时间复杂度 </p>
+
+在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 $n$ 次后停止。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 指数阶（递归实现） */
+    int expRecur(int n) {
+        if (n == 1) return 1;
+        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+### 对数阶 $O(\log n)$
+
+对数阶与指数阶正好相反，后者反映 “每轮增加到两倍的情况” ，而前者反映 “每轮缩减到一半的情况” 。对数阶仅次于常数阶，时间增长的很慢，是理想的时间复杂度。
+
+对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现 “一分为多” 、“化繁为简” 的算法思想。
+
+设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 对数阶（循环实现） */
+    int logarithmic(float n) {
+        int count = 0;
+        while (n > 1) {
+            n = n / 2;
+            count++;
+        }
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![time_complexity_logarithmic](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 对数阶的时间复杂度 </p>
+
+与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 对数阶（递归实现） */
+    int logRecur(float n) {
+        if (n <= 1) return 0;
+        return logRecur(n / 2) + 1;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+### 线性对数阶 $O(n \log n)$
+
+线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
+
+主流排序算法的时间复杂度都是 $O(n \log n )$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 线性对数阶 */
+    int linearLogRecur(float n) {
+        if (n <= 1) return 1;
+        int count = linearLogRecur(n / 2) + 
+                    linearLogRecur(n / 2);
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            count++;
+        }
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![time_complexity_logarithmic_linear](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 线性对数阶的时间复杂度 </p>
+
+### 阶乘阶 $O(n!)$
+
+阶乘阶对应数学上的「全排列」。即给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为
+
+$$
+n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
+$$
+
+阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，…… ，直至到第 $n$ 层时终止分裂。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="time_complexity_types.java"
+    /* 阶乘阶（递归实现） */
+    int factorialRecur(int n) {
+        if (n == 0) return 1;
+        int count = 0;
+        // 从 1 个分裂出 n 个
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            count += factorialRecur(n - 1);
+        }
+        return count;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="time_complexity_types.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="time_complexity_types.py"
+    
+    ```
+
+![time_complexity_factorial](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
+
+<p style="text-align:center"> Fig. 阶乘阶的时间复杂度 </p>
+
+## 最差、最佳、平均时间复杂度
+
+**某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。** 举一个例子，输入一个长度为 $n$ 数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论：
+
+- 当 `nums = [?, ?, ..., 1]`，即当末尾元素是 $1$ 时，则需完整遍历数组，此时达到 **最差时间复杂度 $O(n)$** ；
+- 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个数字为 $1$ 时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 **最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** ；
+
+「函数渐进上界」使用大 $O$ 记号表示，代表「最差时间复杂度」。与之对应，「函数渐进下界」用 $\Omega$ 记号（Omega Notation）来表示，代表「最佳时间复杂度」。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="" title="worst_best_time_complexity.java"
+    public class worst_best_time_complexity {
+        /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
+        static int[] randomNumbers(int n) {
+            Integer[] nums = new Integer[n];
+            // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
+            for (int i = 0; i < n; i++) {
+                nums[i] = i + 1;
+            }
+            // 随机打乱数组元素
+            Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
+            // Integer[] -> int[]
+            int[] res = new int[n];
+            for (int i = 0; i < n; i++) {
+                res[i] = nums[i];
+            }
+            return res;
+        }
+    
+        /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
+        static int findOne(int[] nums) {
+            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
+                if (nums[i] == 1)
+                    return i;
+            }
+            return -1;
+        }
+        
+        /* Driver Code */
+        public static void main(String[] args) {
+            for (int i = 0; i < 10; i++) {
+                int n = 100;
+                int[] nums = randomNumbers(n);
+                int index = findOne(nums);
+                System.out.println("打乱后的数组为 " + Arrays.toString(nums));
+                System.out.println("数字 1 的索引为 " + index);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
+    
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="worst_best_time_complexity.py"
+    
+    ```
+
+!!! tip
+
+    我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」，因为往往只有很小概率下才能达到，会带来一定的误导性。反之，「最差时间复杂度」最为实用，因为它给出了一个 “效率安全值” ，让我们可以放心地使用算法。
+
+从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在 “特殊分布的数据” 中，这些情况的出现概率往往很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。**相对地，「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 $\Theta$ 记号（Theta Notation）来表示**。
+
+对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 $\frac{n}{2}$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)$ 。
+
+但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。这种情况下，我们一般使用最差时间复杂度来作为算法效率的评判标准。