diff --git a/README.md b/README.md index 011931b..93c08c0 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -1,6 +1,6 @@

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@@ -14,7 +14,7 @@

- 前往阅读 >> + 前往阅读 > hello-algo.com @@ -45,6 +45,7 @@ | 新增：查找算法 | 2022-11-19 | | 更新：Markdown Stylesheet
新增：冒泡排序、插入排序 | 2022-11-21 | | 新增：快速排序 | 2022-11-22 | +| 新增：归并排序，更新：快速排序 | 2022-11-23 | ## License diff --git a/codes/java/chapter_sorting/merge_sort.java b/codes/java/chapter_sorting/merge_sort.java new file mode 100644 index 0000000..ccdbb81 --- /dev/null +++ b/codes/java/chapter_sorting/merge_sort.java @@ -0,0 +1,48 @@ +package chapter_sorting; + +import java.util.*; + +public class merge_sort { + /** + * 合并左子数组和右子数组 + * 左子数组区间 [left, mid] + * 右子数组区间 [mid + 1, right] + */ + static void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) { + int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // 初始化辅助数组 + int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left, // 左子数组的起始索引和结束索引 + rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; // 右子数组的起始索引和结束索引 + int i = leftStart, j = rightStart; // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素 + // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组 + for (int k = left; k <= right; k++) { + // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++ + if (i > leftEnd) + nums[k] = tmp[j++]; + // 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++ + else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) + nums[k] = tmp[i++]; + // 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++ + else + nums[k] = tmp[j++]; + } + } + + /* 归并排序 */ + static void mergeSort(int[] nums, int left, int right) { + // 终止条件 + if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归 + // 划分阶段 + int mid = (left + right) / 2; // 计算中点 + mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组 + mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组 + // 合并阶段 + merge(nums, left, mid, right); + } + + public static void main(String[] args) { + /* 归并排序 */ + int[] nums = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 }; + mergeSort(nums, 0, nums.length - 1); + System.out.println("归并排序完成后 nums = " + Arrays.toString(nums)); + } +} diff --git a/codes/java/chapter_sorting/quick_sort.java b/codes/java/chapter_sorting/quick_sort.java new file mode 100644 index 0000000..a996191 --- /dev/null +++ b/codes/java/chapter_sorting/quick_sort.java @@ -0,0 +1,154 @@ +package chapter_sorting; + +import java.util.*; + +/* 快速排序类 */ +class QuickSort { + /* 元素交换 */ + static void swap(int[] nums, int i, int j) { + int tmp = nums[i]; + nums[i] = nums[j]; + nums[j] = tmp; + } + + /* 哨兵划分 */ + static int partition(int[] nums, int left, int right) { + // 以 nums[left] 作为基准数 + int i = left, j = right; + while (i < j) { + while (i < j && nums[j] >= nums[left]) + j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素 + while (i < j && nums[i] <= nums[left]) + i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素 + swap(nums, i, j); // 交换这两个元素 + } + swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线 + return i; // 返回基准数的索引 + } + + /* 快速排序 */ + public static void quickSort(int[] nums, int left, int right) { + // 子数组长度为 1 时终止递归 + if (left >= right) + return; + // 哨兵划分 + int pivot = partition(nums, left, right); + // 递归左子数组、右子数组 + quickSort(nums, left, pivot - 1); + quickSort(nums, pivot + 1, right); + } +} + +/* 快速排序类（中位基准数优化） */ +class QuickSortMedian { + /* 元素交换 */ + static void swap(int[] nums, int i, int j) { + int tmp = nums[i]; + nums[i] = nums[j]; + nums[j] = tmp; + } + + /* 选取三个元素的中位数 */ + static int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) { + // 使用了异或操作来简化代码 + // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1 + if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right])) + return left; + else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right])) + return mid; + else + return right; + } + + /* 哨兵划分（三数取中值） */ + static int partition(int[] nums, int left, int right) { + // 选取三个候选元素的中位数 + int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right); + // 将中位数交换至数组最左端 + swap(nums, left, med); + // 以 nums[left] 作为基准数 + int i = left, j = right; + while (i < j) { + while (i < j && nums[j] >= nums[left]) + j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素 + while (i < j && nums[i] <= nums[left]) + i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素 + swap(nums, i, j); // 交换这两个元素 + } + swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线 + return i; // 返回基准数的索引 + } + + /* 快速排序 */ + public static void quickSort(int[] nums, int left, int right) { + // 子数组长度为 1 时终止递归 + if (left >= right) + return; + // 哨兵划分 + int pivot = partition(nums, left, right); + // 递归左子数组、右子数组 + quickSort(nums, left, pivot - 1); + quickSort(nums, pivot + 1, right); + } +} + +/* 快速排序类（尾递归优化） */ +class QuickSortTailCall { + /* 元素交换 */ + static void swap(int[] nums, int i, int j) { + int tmp = nums[i]; + nums[i] = nums[j]; + nums[j] = tmp; + } + + /* 哨兵划分 */ + static int partition(int[] nums, int left, int right) { + // 以 nums[left] 作为基准数 + int i = left, j = right; + while (i < j) { + while (i < j && nums[j] >= nums[left]) + j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素 + while (i < j && nums[i] <= nums[left]) + i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素 + swap(nums, i, j); // 交换这两个元素 + } + swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线 + return i; // 返回基准数的索引 + } + + /* 快速排序（尾递归优化） */ + static void quickSort(int[] nums, int left, int right) { + // 子数组长度为 1 时终止 + while (left < right) { + // 哨兵划分操作 + int pivot = partition(nums, left, right); + // 对两个子数组中较短的那个执行快排 + if (pivot - left < right - pivot) { + quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组 + left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right] + } else { + quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组 + right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1] + } + } + } +} + +public class quick_sort { + public static void main(String[] args) { + /* 快速排序 */ + int[] nums = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 }; + QuickSort.quickSort(nums, 0, nums.length - 1); + System.out.println("快速排序完成后 nums = " + Arrays.toString(nums)); + + /* 快速排序（中位基准数优化） */ + int[] nums1 = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 }; + QuickSortMedian.quickSort(nums1, 0, nums1.length - 1); + System.out.println("快速排序（中位基准数优化）完成后 nums1 = " + Arrays.toString(nums1)); + + /* 快速排序（尾递归优化） */ + int[] nums2 = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 }; + QuickSortTailCall.quickSort(nums2, 0, nums2.length - 1); + System.out.println("快速排序（尾递归优化）完成后 nums2 = " + Arrays.toString(nums2)); + } +} diff --git a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md index 2cca4c7..9e16895 100644 --- a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md @@ -82,11 +82,11 @@ comments: true **空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 -**原地性：** 指针变量仅使用常数大小额外空间，因此是 **原地排序** 。 +**原地排序：** 指针变量仅使用常数大小额外空间。 -**稳定性：** 不交换相等元素，因此是 **稳定排序** 。 +**稳定排序：** 不交换相等元素。 -**自适应：** 引入 `flag` 优化后（见下文），可在输入数组已排序下达到最优时间复杂度 $O(N)$ ，因此是 **自适应排序** 。 +**自适排序：** 引入 `flag` 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 $O(N)$ 。 ## 效率优化 diff --git a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md index bc2aaa5..9b987c9 100644 --- a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md @@ -50,11 +50,11 @@ comments: true **空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 -**原地性：** 指针变量仅使用常数大小额外空间，因此是 **原地排序** 。 +**原地排序：** 指针变量仅使用常数大小额外空间。 -**稳定性：** 不交换相等元素，因此是 **稳定排序** 。 +**稳定排序：** 不交换相等元素。 -**自适应：** 当输入数组完全有序时，每次插入操作（即内循环）仅循环一次，此时时间复杂度为 $O(n)$ 。 +**自适应排序：** 最佳情况下，时间复杂度为 $O(n)$ 。 ## 插入排序 vs 冒泡排序 diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md index 67f6f1e..f9b3cf4 100644 --- a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -4,3 +4,90 @@ comments: true # 归并排序 +「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段： + +1. **划分：** 不断递归地 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题； + +2. **合并：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左 / 右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序； + +（图） + +## 算法流程 + +**递归划分：** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ； + +1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）； +2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分； + +**回溯合并：** 从底至顶将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；由于是从长度为 1 的子数组开始合并的，因此 **每个子数组也是有序的** ，因此合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** ； + +1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后序通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并； +2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素； +3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。 + +合并代码的实现主要难点： + +- **`nums` 的待合并区间为 `[left, right]`** ，而由于 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，因此 **`tmp` 对应区间为 `[0, right - left]`** 。以下代码中的 `leftStart` , `leftEnd` , `rightStart` , `rightEnd` , `i` , `j` 都是根据 `tmp` 定义的，而 `k` 是根据 `nums` 定义的。 +- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。 + +（动画） + +=== "Java" + + ```java title="merge_sort.java" + /** + * 合并左子数组和右子数组 + * 左子数组区间 [left, mid] + * 右子数组区间 [mid + 1, right] + */ + void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) { + int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // 初始化辅助数组 + int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left, // 左子数组的起始索引和结束索引 + rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; // 右子数组的起始索引和结束索引 + int i = leftStart, j = rightStart; // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素 + // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组 + for (int k = left; k <= right; k++) { + // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++ + if (i > leftEnd) + nums[k] = tmp[j++]; + // 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++ + else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) + nums[k] = tmp[i++]; + // 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++ + else + nums[k] = tmp[j++]; + } + } + + /* 归并排序 */ + void mergeSort(int[] nums, int left, int right) { + // 终止条件 + if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归 + // 递归划分 + int mid = (left + right) / 2; // 计算数组中点 + mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组 + mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组 + // 回溯合并 + merge(nums, left, mid, right); + } + ``` + +## 算法特性 + +- **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 +- **空间复杂度 $O(n)$ ：** 需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 +- **非原地排序：** 辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。 +- **稳定排序：** 在合并时可保证相等元素的相对位置不变。 +- **非自适应排序：** 对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。 + +## 链表排序 * + +归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，**空间复杂度可被优化至 $O(1)$** ，这是因为： + +- 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ； +- 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间； + +!!! quote + + 详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/) + diff --git a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md index 79fd991..8918971 100644 --- a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md @@ -4,7 +4,7 @@ comments: true # 快速排序 -「快速排序 Quick Sort」是一种基于分治思想的排序算法，速度很快、应用很广。 +「快速排序 Quick Sort」是一种基于 “分治思想” 的排序算法，速度很快、应用很广。 快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 **基准数** ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为： @@ -37,27 +37,27 @@ comments: true === "Java" - ``` java + ``` java title="quick_sort.java" + /* 元素交换 */ + void swap(int[] nums, int i, int j) { + int tmp = nums[i]; + nums[i] = nums[j]; + nums[j] = tmp; + } + /* 哨兵划分 */ int partition(int[] nums, int left, int right) { // 以 nums[left] 作为基准数 int i = left, j = right; while (i < j) { while (i < j && nums[j] >= nums[left]) - j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素 + j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素 while (i < j && nums[i] <= nums[left]) - i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素 - swap(nums, i, j); // 交换这两个元素 + i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素 + swap(nums, i, j); // 交换这两个元素 } - swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线 - return i; // 返回基准数的索引 - } - - /* 元素交换 */ - void swap(int[] nums, int i, int j) { - int tmp = nums[i]; - nums[i] = nums[j]; - nums[j] = tmp; + swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线 + return i; // 返回基准数的索引 } ``` @@ -79,10 +79,12 @@ comments: true === "Java" - ```java + ```java title="quick_sort.java" + /* 快速排序 */ void quickSort(int[] nums, int left, int right) { // 子数组长度为 1 时终止递归 - if (l >= r) return; + if (left >= right) + return; // 哨兵划分 int pivot = partition(nums, left, right); // 递归左子数组、右子数组 @@ -99,11 +101,11 @@ comments: true **空间复杂度 $O(n)$ ：** 输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。 -**原地性：** 只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间，为 **原地排序** 。 +**原地排序：** 只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 -**稳定性：** 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置，为 **非稳定排序** 。 +**非稳定排序：** 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。 -**自适应：** 最差时间复杂度是 $O(n^2)$ ，为 **自适应排序** 。 +**自适应排序：** 最差情况下，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。 ## 快排为什么快？ @@ -123,27 +125,27 @@ comments: true === "Java" - ```java + ```java title="quick_sort.java" /* 选取三个元素的中位数 */ int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) { // 使用了异或操作来简化代码 // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1 - if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right])) + if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right])) return left; - else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right])) + else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right])) return mid; else return right; } - /* 哨兵划分 */ + /* 哨兵划分（三数取中值） */ int partition(int[] nums, int left, int right) { // 选取三个候选元素的中位数 int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right); // 将中位数交换至数组最左端 - swap(left, med); - // 继续以 nums[left] 作为基准数 - // 下同... + swap(nums, left, med); + // 以 nums[left] 作为基准数 + // 下同省略... } ``` @@ -155,8 +157,8 @@ comments: true === "Java" - ```java - /* 快速排序（尾递归优化）*/ + ```java title="quick_sort.java" + /* 快速排序（尾递归优化） */ void quickSort(int[] nums, int left, int right) { // 子数组长度为 1 时终止 while (left < right) { @@ -164,15 +166,11 @@ comments: true int pivot = partition(nums, left, right); // 对两个子数组中较短的那个执行快排 if (pivot - left < right - pivot) { - // 递归排序左子数组 - quickSort(nums, left, pivot - 1); - // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right] - left = pivot + 1; + quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组 + left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right] } else { - // 递归排序右子数组 - quickSort(nums, pivot + 1, right); - // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1] - right = pivot - 1; + quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组 + right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1] } } }