diff --git a/codes/java/include/TreeNode.java b/codes/java/include/TreeNode.java index 6541064..69aafd5 100755 --- a/codes/java/include/TreeNode.java +++ b/codes/java/include/TreeNode.java @@ -13,6 +13,7 @@ import java.util.*; */ public class TreeNode { public int val; + public int height; public TreeNode left; public TreeNode right; diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/avl_tree1.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/avl_tree1.png deleted file mode 100644 index ef44177..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/avl_tree1.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/avl_tree2.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/avl_tree2.png deleted file mode 100644 index 456d19f..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/avl_tree2.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/binary_search_tree1.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/binary_search_tree1.png deleted file mode 100644 index aae64da..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/binary_search_tree1.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/binary_search_tree2.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/binary_search_tree2.png deleted file mode 100644 index 3d1c5c6..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/binary_search_tree2.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png new file mode 100644 index 0000000..60faa77 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png new file mode 100644 index 0000000..90f1d15 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/left_right_rotate.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/left_right_rotate.png new file mode 100644 index 0000000..a5e73ac Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/left_right_rotate.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png new file mode 100644 index 0000000..8384696 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_left_rotate.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_left_rotate.png new file mode 100644 index 0000000..3e178b8 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_left_rotate.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step1.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step1.png new file mode 100644 index 0000000..6337ad5 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step1.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step2.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step2.png new file mode 100644 index 0000000..108e275 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step2.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step3.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step3.png new file mode 100644 index 0000000..7d9c996 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step3.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step4.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step4.png new file mode 100644 index 0000000..eccc0f9 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_step4.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png new file mode 100644 index 0000000..a1c80c6 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left1.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left1.png deleted file mode 100644 index eeaf90f..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left1.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left2.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left2.png deleted file mode 100644 index a8ef320..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left2.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left3.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left3.png deleted file mode 100644 index f87a995..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left3.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right1.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right1.png deleted file mode 100644 index 27eaac2..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right1.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right2.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right2.png deleted file mode 100644 index b5d71b1..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right2.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right3.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right3.png deleted file mode 100644 index a455380..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right3.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right4.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right4.png deleted file mode 100644 index 0ea8d40..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_left_right4.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_right1.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_right1.png deleted file mode 100644 index 3463c56..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_right1.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_right2.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_right2.png deleted file mode 100644 index 49a4c09..0000000 Binary files a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotate_right2.png and /dev/null differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotation_cases.png b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotation_cases.png new file mode 100644 index 0000000..6cd6128 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_tree/avl_tree.assets/rotation_cases.png differ diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.md b/docs/chapter_tree/avl_tree.md index dbbdda3..6e13af6 100644 --- a/docs/chapter_tree/avl_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/avl_tree.md @@ -1,323 +1,636 @@ # AVL 树 -## AVL 树起源 +在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。 -在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。 +如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。 -=== "删除前" - ![binary search tree1](avl_tree.assets/binary_search_tree1.png) -=== "删除后" - ![binary search tree2](avl_tree.assets/binary_search_tree2.png) +![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png) -为了解决这一问题，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「平衡二叉搜索树」，并以两位作者命名，常被称为「AVL 树」。 +再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。 -## AVL 树性质 +![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png) -「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质。「平衡二叉树」规定树中任意结点左右子树的高度差的绝对值不能超过 1 。本文定义： +G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。 -- 「平衡因子 Balance Factor」为 **左子树的高度减右子树的高度** 。 -- 空树的高度定义为 -1 ，叶结点的高度定义为 0 。 +换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。 -!!! tip +## AVL 树常见术语 - 设「平衡因子」为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子满足 $-1 \le f \le 1$ +「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。 -## AVL 树优势 +### 结点高度 -提出 AVL 树的两位大佬的厉害之处在于，**他们设计了一系列操作，使得 AVL 树在不断添加与删除结点后，仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。 +在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。 -## AVL 树操作 +=== "Java" -### 查找结点 + ```java title="avl_tree.java" + /* AVL 树结点类 */ + class TreeNode { + public int val; // 结点值 + public int height; // 结点高度 + public TreeNode left; // 左子结点 + public TreeNode right; // 右子结点 + public TreeNode(int x) { val = x; } + } + ``` -「 AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。 +=== "C++" + + ```cpp title="avl_tree.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1** 。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。 + +=== "Java" + + ```java title="avl_tree.java" + /* 获取结点高度 */ + int height(TreeNode node) { + // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0 + return node == null ? -1 : node.height; + } + + /* 更新结点高度 */ + void updateHeight(TreeNode node) { + // 结点高度等于最高子树高度 + 1 + node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1; + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="avl_tree.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +### 结点平衡因子 + +结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。 + +=== "Java" + + ```java title="avl_tree.java" + /* 获取结点平衡因子 */ + public int balanceFactor(TreeNode node) { + // 空结点平衡因子为 0 + if (node == null) return 0; + // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度 + return height(node.left) - height(node.right); + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="avl_tree.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +!!! note + + 设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。 + +## AVL 树旋转 + +AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡。** 换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。 + +我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。 + +### Case 1 - 右旋 + +如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 2** 。我们聚焦在以结点 2 为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。 + +=== "Step 1" + ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png) +=== "Step 2" + ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png) +=== "Step 3" + ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png) +=== "Step 4" + ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png) + +进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild`），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。 + +![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png) + +“向右旋转” 是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。 + +=== "Java" + + ```java title="avl_tree.java" + /* 右旋操作 */ + TreeNode rightRotate(TreeNode node) { + TreeNode child = node.left; + TreeNode grandChild = child.right; + // 以 child 为原点，将 node 向右旋转 + child.right = node; + node.left = grandChild; + // 更新结点高度 + updateHeight(node); + updateHeight(child); + // 返回旋转后的根节点 + return child; + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="avl_tree.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +### Case 2 - 左旋 + +类似地，如果将取上述失衡二叉树的 “镜像” ，那么则需要「左旋」操作。观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**，这说明两种旋转操作本质上是一样的。 + +![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png) + +=== "Java" + + ```java title="avl_tree.java" + /* 左旋操作 */ + private TreeNode leftRotate(TreeNode node) { + TreeNode child = node.right; + TreeNode grandChild = child.left; + // 以 child 为原点，将 node 向左旋转 + child.left = node; + node.right = grandChild; + // 更新结点高度 + updateHeight(node); + updateHeight(child); + // 返回旋转后的根节点 + return child; + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="avl_tree.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +### Case 3 - 先左后右 + +对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。 + +![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png) + +### Case 4 - 先右后左 + +同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。 + +![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png) + +### 旋转的选择 + +下图总结了以上四种失衡情况，分别采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转组合。 + +![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png) + +具体地，需要使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。 + +
+ +| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 | +| ------------------ | ---------------- | ---------------- | +| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 | +| $>0$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 | +| $<0$ （即右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 | +| $<0$ （即右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 | + +
+ +下面，将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以通过此函数来处理所有类型的失衡结点，使之恢复平衡**。 + +=== "Java" + + ```java title="avl_tree.java" + /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */ + TreeNode rotate(TreeNode node) { + // 获取结点 node 的平衡因子 + int balanceFactor = balanceFactor(node); + // 左偏树 + if (balanceFactor > 1) { + if (balanceFactor(node.left) >= 0) { + // 右旋 + return rightRotate(node); + } else { + // 先左旋后右旋 + node.left = leftRotate(node.left); + return rightRotate(node); + } + } + // 右偏树 + if (balanceFactor < -1) { + if (balanceFactor(node.right) <= 0) { + // 左旋 + return leftRotate(node); + } else { + // 先右旋后左旋 + node.right = rightRotate(node.right); + return leftRotate(node); + } + } + // 平衡树，无需旋转，直接返回 + return node; + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="avl_tree.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +## AVL 树常用操作 ### 插入结点 -**插入结点可能会造成平衡二叉树失衡。** 例如下图（括号内数值为结点的平衡因子），插入后结点 2 和 结点 3 已经不满足平衡二叉树的性质，我们将这一现象称为「失衡」。 +「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现「失衡结点」。所以，**我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。 -=== "插入前" - ![avl tree 1](avl_tree.assets/avl_tree1.png) -=== "插入后" - ![avl tree 2](avl_tree.assets/avl_tree2.png) +=== "Java" -为了解决失衡问题，首先需要 **分析哪些结点会出现失衡**，经过观察可得两条规律： - -- 出现失衡的结点都必然出现在新插入结点与根结点的路径上； -- 在此路径上，出现失衡的结点必然是新插入结点的父结点之上的结点； - -!!! tip "证明" - - 由于新插入结点必然是叶结点，因此其父结点之前只有 0 个或 1 个孩子结点， - - - 当父结点有 0 个孩子结点，那么插入结点后，父结点的平衡因子等于 -1 或 1； - - 当父结点有 1 个孩子结点，那么由于插入之前满足 AVL 树性质，那么这个孩子结点形成子树高度等于 $1$ ，插入结点后，父结点的平衡因子等于 $0$ ； - - 因此父结点一定不会失衡，证毕。 - -**接下来考虑如何将一个失衡点恢复为平衡点。** 我们知道二叉搜索树的中序遍历序列一定是严格升序的，而在论文中，作者定义了一种「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的情况下，降低失衡点左右子树的高度差** 。 - -!!! note - 换言之，「旋转」操作可以保持树为「二叉搜索树」，并且可让树逐渐变为平衡二叉树。 - -#### 右旋 - -以上文中提到的发生失衡的 AVL 树为例，首个失衡点是 **结点 2** 。将该结点记为 `node` ，其左子节点记为 `node.left` ，「右旋」就好像将这两个结点进行 “顺时针旋转” ，操作流程为： - -1. 令 `node.left` 的右指针指向 `node` ； -2. 令 `node` 的左指针指向 `node.left` 的右子树。 -3. 令 `node` 的父结点指向 `node.left` ，替代原来 `node` 的位置。 - -以上流程比较晦涩难记，实际上，右旋就像是把 `node.left` “拎起来” 顺时针旋转了一下，可以使用这个动画辅助理解。 - -观察得知，经过右旋后，整棵二叉树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。 - -=== "Step 1" - ![avl tree3](avl_tree.assets/avl_tree2.png) -=== "Step 2" - ![rotate right1](avl_tree.assets/rotate_right1.png) -=== "Step 3" - ![rotate right2](avl_tree.assets/rotate_right2.png) - -#### 左旋 - -类似地，下图中首个失衡点是 **结点 3** ，将失衡结点记为 `node` ，其右子节点记为 `node.right` ，「左旋」就好像将这两个结点进行 “逆时针旋转” ，操作流程为： - -1. 令 `node.right` 的左指针指向 `node` ； -2. 令 `node` 的右指针指向 `node.right` 的左子树。 -3. 令 `node` 的父结点指向 `node.right` ，替代原来 `node` 的位置。 - -观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的**，因此我们只需记住一个操作即可，另一个可以直接推导出来。 - -=== "Step 1" - ![rotate left1](avl_tree.assets/rotate_left1.png) -=== "Step 2" - ![rotate left2](avl_tree.assets/rotate_left2.png) -=== "Step 3" - ![rotate left3](avl_tree.assets/rotate_left3.png) - -#### 双旋 - -「双旋」是左旋和右旋的组合，一种是「先左旋后右旋」，另一种是「先右旋后左旋」。 - -比如对于下图的失衡结点 3 ，单一使用左旋或右旋无法使该结点恢复平衡，需要「先左旋后右旋」。设结点 3 为 `node` ，其左子结点为 `node.left` ，则分为两步： - -1. 对 `node.left` 执行「左旋」。 -2. 对 `node` 执行「右旋」。 - -=== "Step 1" - ![rotate left right3](avl_tree.assets/rotate_left_right1.png) -=== "Step 2" - ![rotate left right4](avl_tree.assets/rotate_left_right3.png) -=== "Step 3" - ![rotate left right5](avl_tree.assets/rotate_left_right4.png) - -同理，「先右旋后左旋」是先对 `node.right` 执行右旋，然后对 `node` 执行左旋。 - -（图） - -#### 旋转选择 - -下面我们来看看，如何根据失衡的情形来选择对应的旋转方法。旋转方法的选择是由失衡点的平衡因子以及其较高一侧子树的平衡因子决定的，分为以下四种情形： - -| 失衡结点的平衡因子 | 结点的较高子树 | 较高子树的平衡因子 | 应采用的旋转方法 | -| ------------------ | -------------- | ------------------ | ---------------- | -| $>0$ | 左子树 | $>0$ | 右旋 | -| $>0$ | 左子树 | $<0$ | 双旋（先左后右） | -| $<0$ | 右子树 | $<0$ | 左旋 | -| $<0$ | 右子树 | $>0$ | 双旋（先右后左） | - -为了方便起见，将 AVL 树修复失衡点封装为一个函数，具体实现如下： - -=== "C++" - - ```cpp title="fix_balance.cpp" - // 用于返回结点node的父结点指向该结点的引用 - TreeNode *&fromParentTo(TreeNode *node) { - if (isLeftChild(node)) { return node->parent->left; } // 若node为其父结点的左孩子，返回父结点的左指针 - else { return node->parent->right; } // 否则，返回父结点的右指针 + ```java title="avl_tree.java" + /* 插入结点 */ + TreeNode insert(int val) { + root = insertHelper(root, val); + return root; } - // 修复失衡结点p - void fixBalance(TreeNode *p) { - // 左旋函数，采用lambda形式 - auto rotate_left = [&](TreeNode *node) -> TreeNode * { - TreeNode *temp = node->right; // 获取失衡点的右孩子 - temp->parent = p->parent; // 将右孩子的父指针指向失衡点的父亲 - node->right = temp->left; // 失衡点的右指针指向其右孩子的左子树 - if (temp->left != nullptr) { // 如果失衡点右孩子的左子树非空，将失衡点设置为该左子树的父亲 - temp->left->parent = node; - } - temp->left = node; // 将失衡点右孩子的左子树指向失衡点 - node->parent = temp; // 失衡点的父亲指向其右孩子 - updateHeight(node); // 更新失衡点高度 - updateHeight(temp); // 更新原失衡点右孩子高度（顺序不可颠倒，因为在旋转后原本的失衡点实质上已经成为了其右孩子的子树） - return temp; // 返回旋转后该子树的根结点，以便原父结点与其连接 - }; - // 右旋函数，采用lambda形式 - auto rotate_right = [&](TreeNode *node) -> TreeNode * { - TreeNode *temp = node->left; // 获取失衡点的左孩子 - temp->parent = p->parent; // 将左孩子的父指针指向失衡点的父亲 - node->left = temp->right; // 失衡点的左指针指向其左孩子的右子树 - if (temp->right != nullptr) { // 如果失衡点左孩子的右子树非空，将失衡点设置为该右子树的父亲 - temp->right->parent = node; - } - temp->right = node; // 将失衡点左孩子的右子树指向失衡点 - node->parent = temp; // 失衡点的父亲指向其左孩子 - updateHeight(node); // 更新失衡点高度 - updateHeight(temp); / 更新原失衡点左孩子高度（顺序不可颠倒，因为在旋转后原本的失衡点实质上已经成为了其左孩子的子树） - return temp; - }; - - // 根据四种情形选择对应的旋转方式 - if (getBalanceFactor(p) > 1) { - if (getBalanceFactor(p->left) > 0) { - if (p->parent == nullptr) { root = rotate_right(p); } // 失衡点为根结点时，其没有父亲，故直接将根节点重置为旋转后的根结点 - else { fromParentTo(p) = rotate_right(p); } // 否则，将失衡点的父亲指向旋转后的根结点 - } else { - p->left = rotate_left(p->left); - if (p->parent == nullptr) { root = rotate_right(p); } - else { fromParentTo(p) = rotate_right(p); } - } - } else { - if (getBalanceFactor(p->right) < 0) { - if (p->parent == nullptr) { root = rotate_left(p); } - else { fromParentTo(p) = rotate_left(p); } - } else { - p->right = rotate_right(p->right); - if (p->parent == nullptr) { root = rotate_left(p); } - else { fromParentTo(p) = rotate_left(p); } - } - } + /* 递归插入结点（辅助函数） */ + TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) { + if (node == null) return new TreeNode(val); + /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */ + if (val < node.val) + node.left = insertHelper(node.left, val); + else if (val > node.val) + node.right = insertHelper(node.right, val); + else + return node; // 重复结点不插入，直接返回 + updateHeight(node); // 更新结点高度 + /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */ + node = rotate(node); + // 返回子树的根节点 + return node; } ``` -有了上文中修复失衡点的函数，平衡二叉树的插入代码也就不难写出了。 - === "C++" - ```cpp title="avl_tree_insert.cpp" - - bool AvlTree::insert(int val) { - TreeNode *p = root; - // 若根结点为空，直接插入到根结点 - if (p == nullptr) { - root = new TreeNode(val); - return true; - } - // 寻找插入位置并插入，与二叉搜索树的插入相同 - for (;;) { - if (p->val == val) { return false; } - else if (p->val > val) { - if (p->left == nullptr) { - p->left = new TreeNode(val, p); - break; - } else { - p = p->left; - } - } else { - if (p->right == nullptr) { - p->right = new TreeNode(val, p); - break; - } else { - p = p->right; - } - } - } - // 自下向上寻找第一个失衡点并修复 - for (; p != nullptr; p = p->parent) { - if (!isBalance(p)) { - fixBalance(p); - break; - } else { - updateHeight(p); // 对路径上的未失衡点进行高度复原 - } - } - return true; - } + ```cpp title="avl_tree.cpp" + ``` -#### 高度复原 +=== "Python" -插入结点后，从该结点至根结点的路径上的结点的高度有可能发生变化。因此在向上搜寻失衡点的过程中，需要不断地更新路径上结点的高度。 + ```python title="avl_tree.py" -=== "C++" - - ```cpp title="updateHeight.cpp" - // 对结点进行高度复原 - void updateHeight(TreeNode *p) { - // 若左右子树都为空，则该点为叶子结点，高度为0 - if (p->left == nullptr && p->right == nullptr) { p->height = 0; } - // 若左子树为空，则该点高度为右子树高度加一 - else if (p->left == nullptr) { p->height = p->right->height + 1; } - // 若右子树为空，则该点高度为左子树加一 - else if (p->right == nullptr) { p->height = p->left->height + 1; } - // 左右子树都不为空，该点高度为左右子树中较高者的高度加一 - else { p->height = std::max(p->left->height, p->right->height) + 1; } - } ``` -但可以证明的是，插入操作所造成的结点高度变化最多只会影响到第一个失衡点以下的部分。这也正是上述插入操作的代码中修复第一个失衡点后直接跳出循环的原因。 +=== "Go" -!!! tip "证明" + ```go title="avl_tree.go" - 以第一个失衡结点为根，设非新插入结点所在子树的高度为 $h$ 。 - - 通过插入前后子树高度的变化可以得出，将第一个失衡结点的平衡因子修复后，该结点的高度与插入前相等。因此，高度变化只会传播到第一个失衡点下方的结点。 + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` ### 删除结点 -「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。在此基础上，「AVL树」在删除结点后，需要从删除结点的父结点开始进行失衡点修复与高度复原，直到树的根节点。 +「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，**在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。 + +=== "Java" + + ```java title="avl_tree.java" + /* 删除结点 */ + TreeNode remove(int val) { + root = removeHelper(root, val); + return root; + } + + /* 递归删除结点（辅助函数） */ + TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) { + if (node == null) return null; + /* 1. 查找结点，并删除之 */ + if (val < node.val) + node.left = removeHelper(node.left, val); + else if (val > node.val) + node.right = removeHelper(node.right, val); + else { + if (node.left == null || node.right == null) { + TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right; + // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回 + if (child == null) + return null; + // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node + else + node = child; + } else { + // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点 + TreeNode temp = minNode(node.right); + node.right = removeHelper(node.right, temp.val); + node.val = temp.val; + } + } + updateHeight(node); // 更新结点高度 + /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */ + node = rotate(node); + // 返回子树的根节点 + return node; + } + + /* 获取最小结点 */ + TreeNode minNode(TreeNode node) { + if (node == null) return node; + // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出 + while (node.left != null) { + node = node.left; + } + return node; + } + ``` === "C++" - ```cpp title="avl_tree_remove.cpp" - bool AvlTree::remove(int val) { - // 若根结点为空，则直接返回 - TreeNode *p = root; - if (p == nullptr) { return false; } - // 删除结点，与二叉搜索树的删除操作相同 - while (p != nullptr) { - if (p->val == val) { - TreeNode *real_delete_node = p; - TreeNode *next_node; - // 被删除结点左子树为空时，直接将被删除结点的父结点指向被删除结点的右子树 - if (p->left == nullptr) { - next_node = p->right; - if (p->parent == nullptr) { root = next_node; } - else { fromParentTo(p) = next_node; } - } else if (p->right == nullptr) { // 被删除结点右子树为空时，直接将被删除结点的父结点指向被删除结点的左子树 - next_node = p->left; - if (p->parent == nullptr) { root = next_node; } - else { fromParentTo(p) = next_node; } - } else { - // 用直接后继代替该点 - while (real_delete_node->left != nullptr) { - real_delete_node = real_delete_node->left; - } - std::swap(p->val, real_delete_node->val); - next_node = real_delete_node->right; - // 根据实际被删除点与删除点的关系，确定删除结点后重新连接的方式 - if (real_delete_node->parent == p) { p->right = next_node; } - else { real_delete_node->parent->left = next_node; } - } - // 如果实际被删除点的后继非空，则将其指向实际被删除点的父亲 - if (next_node != nullptr) { - next_node->parent = real_delete_node->parent; - } - // 自下向上寻找失衡点，并进行高度复原 - for (p = real_delete_node; p != nullptr; p = p->parent) { - if (!isBalance(p)) { fixBalance(p); } - updateHeight(p); - } - delete real_delete_node; - return true; - } else if (p->val > val) { - p = p->left; - } else { - p = p->right; - } - } - return false; - } + ```cpp title="avl_tree.cpp" + ``` + +=== "Python" + + ```python title="avl_tree.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="avl_tree.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```js title="avl_tree.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="avl_tree.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="avl_tree.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="avl_tree.cs" + + ``` + +### 查找结点 + +「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。 diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml index 1867538..5b49043 100644 --- a/mkdocs.yml +++ b/mkdocs.yml @@ -154,6 +154,7 @@ nav: - 二叉树（Binary Tree）: chapter_tree/binary_tree.md - 二叉树常见类型: chapter_tree/binary_tree_types.md - 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md + - AVL 树: chapter_tree/avl_tree.md - 小结: chapter_tree/summary.md - 查找算法: - 线性查找: chapter_searching/linear_search.md