From c0fd51c3120332981e92572b2562e5819f34e8a1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yudong Jin <krahets@163.com>
Date: Tue, 6 Dec 2022 02:19:26 +0800
Subject: [PATCH] Polished the content.

---
 docs/chapter_tree/avl_tree.md | 68 +++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 32 insertions(+), 36 deletions(-)

diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.md b/docs/chapter_tree/avl_tree.md
index e378aa7..dbbdda3 100644
--- a/docs/chapter_tree/avl_tree.md
+++ b/docs/chapter_tree/avl_tree.md
@@ -1,18 +1,17 @@
 # AVL 树
 
-## AVL 树的起源
+## AVL 树起源
 
-在「二叉搜索树」章节中提到，如进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。例如，删除结点 4 后，该二叉搜索树就会退化为链表。
+在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
 
 === "删除前"
     ![binary search tree1](avl_tree.assets/binary_search_tree1.png)
 === "删除后"
     ![binary search tree2](avl_tree.assets/binary_search_tree2.png)
 
-为了解决这一问题，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of info
-rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，常被称为「AVL 树」。
+为了解决这一问题，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「平衡二叉搜索树」，并以两位作者命名，常被称为「AVL 树」。
 
-## AVL 树的性质
+## AVL 树性质
 
 「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质。「平衡二叉树」规定树中任意结点左右子树的高度差的绝对值不能超过 1 。本文定义：
 
@@ -23,11 +22,11 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
 
     设「平衡因子」为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子满足 $-1 \le f \le 1$
 
-## AVL 树的优势
+## AVL 树优势
 
-提出 AVL 树的两位大佬的厉害之处在于，他们设计了一系列操作，使得 AVL 树在不断添加与删除结点后，仍然不会发生退化，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
+提出 AVL 树的两位大佬的厉害之处在于，**他们设计了一系列操作，使得 AVL 树在不断添加与删除结点后，仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
 
-## AVL 树的操作
+## AVL 树操作
 
 ### 查找结点
 
@@ -35,17 +34,17 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
 
 ### 插入结点
 
-由于平衡二叉树需要保证其任意结点的平衡因子满足限制，所以在插入结点后可能会造成 AVL 树的失衡。例如，平衡二叉树在插入结点 0 前 / 后如下图所示（括号内表示当前结点的平衡因子）：
+**插入结点可能会造成平衡二叉树失衡。** 例如下图（括号内数值为结点的平衡因子），插入后结点 2 和 结点 3 已经不满足平衡二叉树的性质，我们将这一现象称为「失衡」。
 
 === "插入前"
     ![avl tree 1](avl_tree.assets/avl_tree1.png)
 === "插入后"
     ![avl tree 2](avl_tree.assets/avl_tree2.png)
 
-观察发现，插入后结点 2 和 结点 3 已经不满足平衡二叉树的性质，我们将这一现象称为 **失衡** 。为了解决该问题，首先需要分析哪些结点会出现失衡，经过观察可得两条规律：
+为了解决失衡问题，首先需要 **分析哪些结点会出现失衡**，经过观察可得两条规律：
 
 - 出现失衡的结点都必然出现在新插入结点与根结点的路径上；
-- 在这条路径上，该插入结点的父结点一定不会失衡，即首先失衡的结点必然是父节点之上的结点；
+- 在此路径上，出现失衡的结点必然是新插入结点的父结点之上的结点；
 
 !!! tip "证明"
 
@@ -56,19 +55,22 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
     
     因此父结点一定不会失衡，证毕。
 
-现在考虑如何将一个失衡点恢复为平衡点。
+**接下来考虑如何将一个失衡点恢复为平衡点。** 我们知道二叉搜索树的中序遍历序列一定是严格升序的，而在论文中，作者定义了一种「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的情况下，降低失衡点左右子树的高度差** 。
 
-我们知道对于二叉搜索树的中序遍历序列一定是严格升序的。在论文中，作者定义了一种被称为「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的情况下，降低失衡点左右子树的高度差** 。
+!!! note
+    换言之，「旋转」操作可以保持树为「二叉搜索树」，并且可让树逐渐变为平衡二叉树。
 
 #### 右旋
 
-以上文中提到的发生失衡的 AVL 树为例，「右旋」的具体操作为：
+以上文中提到的发生失衡的 AVL 树为例，首个失衡点是 **结点 2** 。将该结点记为 `node` ，其左子节点记为 `node.left` ，「右旋」就好像将这两个结点进行 “顺时针旋转” ，操作流程为：
 
-1. 首先可以找到第一个发生失衡的点是结点 2 。
-2. 以该点为轴顺时针旋转，使该点左孩子的右子树指向该点，该点的左子树指向其左孩子的右子树。
-3. 将原本的左孩子连接至该点的父结点。
+1. 令 `node.left` 的右指针指向 `node` ；
+2. 令 `node` 的左指针指向 `node.left` 的右子树。
+3. 令 `node` 的父结点指向 `node.left` ，替代原来 `node` 的位置。
 
-观察得知，经过右旋后，整棵二叉树已经恢复平衡，并且中序遍历序列也保持不变。
+以上流程比较晦涩难记，实际上，右旋就像是把 `node.left` “拎起来” 顺时针旋转了一下，可以使用这个动画辅助理解。
+
+观察得知，经过右旋后，整棵二叉树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
 
 === "Step 1"
     ![avl tree3](avl_tree.assets/avl_tree2.png)
@@ -79,13 +81,13 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
 
 #### 左旋
 
-下面来看与之对应的「左旋」，需要使用左旋的情况与右旋相似，下面以例子来说明左旋的过程：
+类似地，下图中首个失衡点是 **结点 3** ，将失衡结点记为 `node` ，其右子节点记为 `node.right` ，「左旋」就好像将这两个结点进行 “逆时针旋转” ，操作流程为：
 
-1. 首先可以找到第一个发生失衡的点是结点 3 。
-2. 以该点为轴逆时针旋转，使该点右孩子的左子树指向该点，该点的右子树指向其右孩子的左子树。
-3. 将原本的右孩子连接至该点的父结点。
+1. 令 `node.right` 的左指针指向 `node` ；
+2. 令 `node` 的右指针指向 `node.right` 的左子树。
+3. 令 `node` 的父结点指向 `node.right` ，替代原来 `node` 的位置。
 
-与右旋相同，左旋也可以让失衡的结点恢复平衡，同时不会改变中序遍历序列。
+观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的**，因此我们只需记住一个操作即可，另一个可以直接推导出来。
 
 === "Step 1"
     ![rotate left1](avl_tree.assets/rotate_left1.png)
@@ -96,20 +98,12 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
 
 #### 双旋
 
-「双旋」分为两种，一种是「先左旋后右旋」，另一种是「先右旋后左旋」。
+「双旋」是左旋和右旋的组合，一种是「先左旋后右旋」，另一种是「先右旋后左旋」。
 
-以先左后右为例，如果直接对下图二叉树的失衡点执行右旋，会发现并不能使失衡点恢复平衡。
+比如对于下图的失衡结点 3 ，单一使用左旋或右旋无法使该结点恢复平衡，需要「先左旋后右旋」。设结点 3 为 `node` ，其左子结点为 `node.left` ，则分为两步：
 
-=== "Step 1"
-    ![rotate left right1](avl_tree.assets/rotate_left_right1.png)
-=== "Step 2"
-    ![rotate left right2](avl_tree.assets/rotate_left_right2.png)
-
-
-为了解决该问题，需要「先左旋后右旋」，即分为两步：
-
-1. 将失衡点的左孩子执行左旋。
-2. 对失衡点执行右旋。
+1. 对 `node.left` 执行「左旋」。
+2. 对 `node` 执行「右旋」。
 
 === "Step 1"
     ![rotate left right3](avl_tree.assets/rotate_left_right1.png)
@@ -118,7 +112,9 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
 === "Step 3"
     ![rotate left right5](avl_tree.assets/rotate_left_right4.png)
 
-同理，「先左旋后右旋」是先将失衡点的左孩子执行右旋，然后对失衡点执行左旋。
+同理，「先右旋后左旋」是先对 `node.right` 执行右旋，然后对 `node` 执行左旋。
+
+（图）
 
 #### 旋转选择