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# 小结

### 算法效率评估

- 「时间效率」和「空间效率」是算法性能的两个重要的评价维度。
- 我们可以通过「实际测试」来评估算法效率，但难以排除测试环境的干扰，并且非常耗费计算资源。
- 「复杂度分析」克服了实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且可以体现不同数据大小下的算法效率。

### 时间复杂度

- 「时间复杂度」统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣性。
- 「最差时间复杂度」使用大 $O$ 符号表示，即函数渐进上界，其反映当 $n$ 趋于正无穷时，$T(n)$ 处于何种增长级别。
- 推算时间复杂度分为两步，首先统计计算操作数量，再判断渐进上界。
- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n \log n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ , $O(n!)$ 。
- 某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为「最差时间复杂度」和「最佳时间复杂度」，后者几乎不用，因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。
- 「平均时间复杂度」可以反映在随机数据输入下的算法效率，最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布，以及综合后的数学期望。

### 空间复杂度

- 与时间复杂度的定义类似，「空间复杂度」统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。

- 算法运行中相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，空间复杂度不计入输入空间。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间一般在递归函数中才会影响到空间复杂度。
- 我们一般只关心「最差空间复杂度」，即统计算法在「最差输入数据」和「最差运行时间点」下的空间复杂度。
- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ 。