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# 归并排序
「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：
1. **划分阶段：** 通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
2. **合并阶段：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
Fig. 归并排序两阶段：划分与合并
## 算法流程
**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；
1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）；
2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；
**「回溯合并」** 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；
需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的** 。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** 。
=== "Step1"
=== "Step2"
=== "Step3"
=== "Step4"
=== "Step5"
=== "Step6"
=== "Step7"
=== "Step8"
=== "Step9"
=== "Step10"
观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。
- **后序遍历：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
- **归并排序：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。
=== "Java"
```java title="merge_sort.java"
/**
* 合并左子数组和右子数组
* 左子数组区间 [left, mid]
* 右子数组区间 [mid + 1, right]
*/
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 递归划分
int mid = (left + right) / 2; // 计算数组中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 回溯合并
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "C++"
```cpp title="merge_sort.cpp"
/**
* 合并左子数组和右子数组
* 左子数组区间 [left, mid]
* 右子数组区间 [mid + 1, right]
*/
void merge(vector& nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
vector tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(vector& nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Python"
```python title="merge_sort.py"
"""
合并左子数组和右子数组
左子数组区间 [left, mid]
右子数组区间 [mid + 1, right]
"""
def merge(nums, left, mid, right):
# 初始化辅助数组 借助 copy模块
tmp = nums[left:right + 1]
# 左子数组的起始索引和结束索引
left_start, left_end = left - left, mid - left
# 右子数组的起始索引和结束索引
right_start, right_end = mid + 1 - left, right - left
# i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
i, j = left_start, right_start
# 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in range(left, right + 1):
# 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if i > left_end:
nums[k] = tmp[j]
j += 1
# 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
elif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:
nums[k] = tmp[i]
i += 1
# 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else:
nums[k] = tmp[j]
j += 1
""" 归并排序 """
def merge_sort(nums, left, right):
# 终止条件
if left >= right:
return # 当子数组长度为 1 时终止递归
# 划分阶段
mid = (left + right) // 2 # 计算中点
merge_sort(nums, left, mid) # 递归左子数组
merge_sort(nums, mid + 1, right) # 递归右子数组
# 合并阶段
merge(nums, left, mid, right)
```
下面重点解释一下合并方法 `merge()` 的流程：
1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后续通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。
合并方法 `merge()` 代码中的主要难点：
- `nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而因为 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，所以 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` ，**需要特别注意代码中各个变量的含义**。
- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。
## 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
- **空间复杂度 $O(n)$ ：** 需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。
- **非原地排序：** 辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。
- **稳定排序：** 在合并时可保证相等元素的相对位置不变。
- **非自适应排序：** 对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。
## 链表排序 *
归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，**空间复杂度可被优化至 $O(1)$** ，这是因为：
- 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
- 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；
> 详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)