--- comments: true --- # 时间复杂度 ## 统计算法运行时间 运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 **准确预估一段代码的运行时间** ，该如何做呢？ 1. 首先需要 **确定运行平台** ，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些都会影响到代码的运行效率。 2. 评估 **各种计算操作的所需运行时间** ，例如加法操作 `+` 需要 1 ns ，乘法操作 `*` 需要 10 ns ，打印操作需要 5 ns 等。 3. 根据代码 **统计所有计算操作的数量** ，并将所有操作的执行时间求和，即可得到运行时间。 例如以下代码，输入数据大小为 $n$ ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 $6n + 12$ ns 。 $$ 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12 $$ === "Java" ```java title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++ System.out.println(0); // 5 ns } } ``` === "C++" ```cpp title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++ cout << 0 << endl; // 5 ns } } ``` === "Python" ```python title="" # 在某运行平台下 def algorithm(n): a = 2 # 1 ns a = a + 1 # 1 ns a = a * 2 # 10 ns # 循环 n 次 for _ in range(n): # 1 ns print(0) # 5 ns ``` === "Go" ```go title="" ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" ``` 但实际上， **统计算法的运行时间既不合理也不现实。** 首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。 ## 统计时间增长趋势 「时间复杂度分析」采取了不同的做法，其统计的不是算法运行时间，而是 **算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势** 。 “时间增长趋势” 这个概念比较抽象，我们借助一个例子来理解。设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法 `A` , `B` , `C` 。 - 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。 - 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大成线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。 - 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，但运行时间仍与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为「常数阶」。 === "Java" ```java title="" // 算法 A 时间复杂度：常数阶 void algorithm_A(int n) { System.out.println(0); } // 算法 B 时间复杂度：线性阶 void algorithm_B(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { System.out.println(0); } } // 算法 C 时间复杂度：常数阶 void algorithm_C(int n) { for (int i = 0; i < 1000000; i++) { System.out.println(0); } } ``` === "C++" ```cpp title="" // 算法 A 时间复杂度：常数阶 void algorithm_A(int n) { cout << 0 << endl; } // 算法 B 时间复杂度：线性阶 void algorithm_B(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { cout << 0 << endl; } } // 算法 C 时间复杂度：常数阶 void algorithm_C(int n) { for (int i = 0; i < 1000000; i++) { cout << 0 << endl; } } ``` === "Python" ```python title="" # 算法 A 时间复杂度：常数阶 def algorithm_A(n): print(0) # 算法 B 时间复杂度：线性阶 def algorithm_B(n): for _ in range(n): print(0) # 算法 C 时间复杂度：常数阶 def algorithm_C(n): for _ in range(1000000): print(0) ``` === "Go" ```go title="" ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" ``` ![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png)

Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势

相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？ **时间复杂度可以有效评估算法效率。** 算法 `B` 运行时间的增长是线性的，在 $n > 1$ 时慢于算法 `A` ，在 $n > 1000000$ 时慢于算法 `C` 。实质上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这也正是时间增长趋势的含义。 **时间复杂度分析将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」。** 这是因为，无论是运行平台、还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因此，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的 “单位时间” 。 **时间复杂度也存在一定的局限性。** 比如，虽然算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 `B` 比 `C` 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 $n$ 比较小时，算法 `B` 是要明显优于算法 `C` 的。即使存在这些问题，计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。 ## 函数渐近上界 设算法「计算操作数量」为 $T(n)$ ，其是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数。例如，以下算法的操作数量为 $$ T(n) = 3 + 2n $$ === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） System.out.println(0); // +1 } } ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） cout << 0 << endl; // +1 } } ``` === "Python" ```python title="" def algorithm(n): a = 1 # +1 a = a + 1 # +1 a = a * 2 # +1 # 循环 n 次 for i in range(n): # +1 print(0) # +1 } ``` === "Go" ```go title="" ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" ``` $T(n)$ 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。 我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，代表函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。 我们要推算时间复杂度，本质上是在计算「操作数量函数 $T(n)$ 」的渐近上界。下面我们先来看看函数渐近上界的数学定义。 !!! abstract "函数渐近上界" 若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有 $$ T(n) \leq c \cdot f(n) $$ 则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为 $$ T(n) = O(f(n)) $$ ![asymptotic_upper_bound](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)

Fig. 函数的渐近上界

本质上看，计算渐近上界就是在找一个函数 $f(n)$ ，**使得在 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别（仅相差一个常数项 $c$ 的倍数）**。 !!! tip 渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，无需担心，因为在实际使用中我们只需要会推算即可，数学意义可以慢慢领悟。 ## 推算方法 推算出 $f(n)$ 后，我们就得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么，如何来确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步，首先「统计操作数量」，然后「判断渐近上界」。 ### 1. 统计操作数量 对着代码，从上到下一行一行地计数即可。然而，**由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数偷懒技巧： 1. **跳过数量与 $n$ 无关的操作。** 因为他们都是 $T(n)$ 中的常数项，对时间复杂度不产生影响。 2. **省略所有系数。** 例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次、……，都可以化简记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 3. **循环嵌套时使用乘法。** 总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。 根据以下示例，使用上述技巧前、后的统计结果分别为 $$ \begin{aligned} T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline & = 2n^2 + 7n + 3 \newline T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)} \end{aligned} $$ 最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 $O(n^2)$ 。 === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { System.out.println(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { System.out.println(0); } } } ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { cout << 0 << endl; } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { cout << 0 << endl; } } } ``` === "Python" ```python title="" def algorithm(n): a = 1 # +0（技巧 1） a = a + n # +0（技巧 1） # +n（技巧 2） for i in range(5 * n + 1): print(0) # +n*n（技巧 3） for i in range(2 * n): for j in range(n + 1): print(0) ``` === "Go" ```go title="" ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" ``` ### 2. 判断渐近上界 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。 以下表格给出了一些例子，其中有一些夸张的值，是想要向大家强调 **系数无法撼动阶数** 这一结论。在 $n$ 趋于无穷大时，这些常数都是 “浮云” 。
| 操作数量 $T(n)$ | 时间复杂度 $O(f(n))$ | | ---------------------- | -------------------- | | $100000$ | $O(1)$ | | $3n + 2$ | $O(n)$ | | $2n^2 + 3n + 2$ | $O(n^2)$ | | $n^3 + 10000n^2$ | $O(n^3)$ | | $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$ |
## 常见类型 设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型有（从低到高排列） $$ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶} \end{aligned} $$ ![time_complexity_common_types](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png)

Fig. 时间复杂度的常见类型

!!! tip 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。 ### 常数阶 $O(1)$ 常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。 对于以下算法，无论操作数量 `size` 有多大，只要与数据大小 $n$ 无关，时间复杂度就仍为 $O(1)$ 。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 常数阶 """ def constant(n): count = 0 size = 100000 for _ in range(size): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ### 线性阶 $O(n)$ 线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 线性阶 """ def linear(n): count = 0 for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` 「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。 !!! tip **数据大小 $n$ 是根据输入数据的类型来确定的。** 比如，在上述示例中，我们直接将 $n$ 看作输入数据大小；以下遍历数组示例中，数据大小 $n$ 为数组的长度。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 线性阶（遍历数组） */ int arrayTraversal(int[] nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 线性阶（遍历数组） */ int arrayTraversal(vector& nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 线性阶（遍历数组）""" def array_traversal(nums): count = 0 # 循环次数与数组长度成正比 for num in nums: count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ### 平方阶 $O(n^2)$ 平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，总体为 $O(n^2)$ 。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 平方阶 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 平方阶 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 平方阶 """ def quadratic(n): count = 0 # 循环次数与数组长度成平方关系 for i in range(n): for j in range(n): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ![time_complexity_constant_linear_quadratic](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)

Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度

以「冒泡排序」为例，外层循环 $n - 1$ 次，内层循环 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $\frac{n}{2}$ 次，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。 $$ O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2) $$ === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 平方阶（冒泡排序） */ int bubbleSort(int[] nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1 for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 内循环：冒泡操作 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 平方阶（冒泡排序） */ int bubbleSort(vector& nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1 for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) { // 内循环：冒泡操作 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 平方阶（冒泡排序）""" def bubble_sort(nums): count = 0 # 计数器 # 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1 for i in range(len(nums) - 1, 0, -1): # 内循环：冒泡操作 for j in range(i): if nums[j] > nums[j + 1]: # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] tmp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ### 指数阶 $O(2^n)$ !!! note 生物学科中的 “细胞分裂” 即是指数阶增长：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后为 $2$ 个，分裂两轮后为 $4$ 个，……，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。 指数阶增长得非常快，在实际应用中一般是不能被接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度是 $O(2^n)$ ，那么一般都需要使用「动态规划」或「贪心算法」等算法来求解。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 指数阶（循环实现） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 指数阶（循环实现） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 指数阶（循环实现）""" def exponential(n): count, base = 0, 1 # cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in range(n): for _ in range(base): count += 1 base *= 2 # count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ![time_complexity_exponential](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)

Fig. 指数阶的时间复杂度

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 $n$ 次后停止。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 指数阶（递归实现）""" def exp_recur(n): if n == 1: return 1 return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ### 对数阶 $O(\log n)$ 对数阶与指数阶正好相反，后者反映 “每轮增加到两倍的情况” ，而前者反映 “每轮缩减到一半的情况” 。对数阶仅次于常数阶，时间增长的很慢，是理想的时间复杂度。 对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现 “一分为多” 、“化繁为简” 的算法思想。 设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 对数阶（循环实现） */ int logarithmic(float n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 对数阶（循环实现） */ int logarithmic(float n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 对数阶（循环实现）""" def logarithmic(n): count = 0 while n > 1: n = n / 2 count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ![time_complexity_logarithmic](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)

Fig. 对数阶的时间复杂度

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 对数阶（递归实现）""" def log_recur(n): if n <= 1: return 0 return log_recur(n / 2) + 1 ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ### 线性对数阶 $O(n \log n)$ 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。 主流排序算法的时间复杂度都是 $O(n \log n )$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(float n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(float n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 线性对数阶 """ def linear_log_recur(n): if n <= 1: return 1 count = linear_log_recur(n // 2) + \ linear_log_recur(n // 2) for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ![time_complexity_logarithmic_linear](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)

Fig. 线性对数阶的时间复杂度

### 阶乘阶 $O(n!)$ 阶乘阶对应数学上的「全排列」。即给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为 $$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 $$ 阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，…… ，直至到第 $n$ 层时终止分裂。 === "Java" ```java title="time_complexity_types.java" /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity_types.cpp" /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity_types.py" """ 阶乘阶（递归实现）""" def factorial_recur(n): if n == 0: return 1 count = 0 # 从 1 个分裂出 n 个 for _ in range(n): count += factorial_recur(n - 1) return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity_types.go" ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity_types.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity_types.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity_types.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity_types.cs" ``` ![time_complexity_factorial](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)

Fig. 阶乘阶的时间复杂度

## 最差、最佳、平均时间复杂度 **某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。** 举一个例子，输入一个长度为 $n$ 数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论： - 当 `nums = [?, ?, ..., 1]`，即当末尾元素是 $1$ 时，则需完整遍历数组，此时达到 **最差时间复杂度 $O(n)$** ； - 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个数字为 $1$ 时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 **最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** ； 「函数渐近上界」使用大 $O$ 记号表示，代表「最差时间复杂度」。与之对应，「函数渐近下界」用 $\Omega$ 记号（Omega Notation）来表示，代表「最佳时间复杂度」。 === "Java" ```java title="worst_best_time_complexity.java" public class worst_best_time_complexity { /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ static int[] randomNumbers(int n) { Integer[] nums = new Integer[n]; // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 Collections.shuffle(Arrays.asList(nums)); // Integer[] -> int[] int[] res = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nums[i]; } return res; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ static int findOne(int[] nums) { for (int i = 0; i < nums.length; i++) { if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } /* Driver Code */ public static void main(String[] args) { for (int i = 0; i < 10; i++) { int n = 100; int[] nums = randomNumbers(n); int index = findOne(nums); System.out.println("打乱后的数组为 " + Arrays.toString(nums)); System.out.println("数字 1 的索引为 " + index); } } } ``` === "C++" ```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ vector randomNumbers(int n) { vector nums(n); // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 使用系统时间生成随机种子 unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count(); // 随机打乱数组元素 shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed)); return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int findOne(vector& nums) { for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } /* Driver Code */ int main() { for (int i = 0; i < 1000; i++) { int n = 100; vector nums = randomNumbers(n); int index = findOne(nums); cout << "\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 = "; PrintUtil::printVector(nums); cout << "数字 1 的索引为 " << index << endl; } return 0; } ``` === "Python" ```python title="worst_best_time_complexity.py" """ 生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱 """ def random_numbers(n): # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n nums = [i for i in range(1, n + 1)] # 随机打乱数组元素 random.shuffle(nums) return nums """ 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 """ def find_one(nums): for i in range(len(nums)): if nums[i] == 1: return i return -1 """ Driver Code """ if __name__ == "__main__": for i in range(10): n = 100 nums = random_numbers(n) index = find_one(nums) print("\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums) print("数字 1 的索引为", index) ``` === "Go" ```go title="worst_best_time_complexity.go" ``` === "JavaScript" ```js title="worst_best_time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="worst_best_time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="worst_best_time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="worst_best_time_complexity.cs" ``` !!! tip 我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」，因为往往只有很小概率下才能达到，会带来一定的误导性。反之，「最差时间复杂度」最为实用，因为它给出了一个 “效率安全值” ，让我们可以放心地使用算法。 从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在 “特殊分布的数据” 中，这些情况的出现概率往往很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。**相对地，「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 $\Theta$ 记号（Theta Notation）来表示**。 对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 $\frac{n}{2}$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)$ 。 但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。这种情况下，我们一般使用最差时间复杂度来作为算法效率的评判标准。 !!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号？" 实际中我们经常使用「大 $O$ 符号」来表示「平均复杂度」，这样严格意义上来说是不规范的。这可能是因为 $O$ 符号实在是太朗朗上口了。
如果在本书和其他资料中看到类似 **平均时间复杂度 $O(n)$** 的表述，请你直接理解为 $\Theta(n)$ 即可。