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# 二叉树
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着 “一分为二” 的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
=== "Java"
```java
/* 链表结点类 */
class TreeNode {
int val; // 结点值
TreeNode left; // 左子结点指针
TreeNode right; // 右子结点指针
TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。
Fig. 子结点与子树
需要注意，父结点、子结点、子树是可以向下递推的。例如，如果将上图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 以下的树」和「结点 5 以下的树」。
## 二叉树常见术语
「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
结点「度 Degree」：结点的子结点数量，二叉树中度的范围是 0, 1, 2 ；
结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点的层数；
结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点的层数；
二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点的层数；
Fig. 二叉树的常见术语
## 二叉树最佳和最差结构
当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
Fig. 二叉树的最佳和最差结构
在最佳和最差结构下，二叉树的结点数量和高度等性质达到最大（最小）值。
| | 完美二叉树 | 链表 |
| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
| 二叉树第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
| 高度为 $h$ 的二叉树的结点总数 | $2^h - 1$ | $h$ |
| 结点总数为 $n$ 的二叉树的高度 | $\log_2 n + 1$ | $n$ |
## 二叉树基本操作
**初始化二叉树。** 与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
// 初始化结点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
**插入与删除结点。** 与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
Fig. 在二叉树中插入与删除结点
```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;
```
!!! note
插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
## 二叉树遍历
非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
### 层序遍历
「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种 “一圈一圈向外” 的层进遍历方式。
Fig. 二叉树的层序遍历
广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是 “先进先出” ，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。
=== "Java"
```java title="binary_tree_bfs.java"
/* 层序遍历 */
List hierOrder(TreeNode root) {
// 初始化队列，加入根结点
Queue queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
List list = new ArrayList<>();
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
list.add(node.val); // 保存结点值
if (node.left != null)
queue.offer(node.left); // 左子结点入队
if (node.right != null)
queue.offer(node.right); // 右子结点入队
}
return list;
}
```
### 前序、中序、后序遍历
相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种 “先走到尽头，再回头继续” 的回溯遍历方式。
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围 “走” 一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历
| 位置 | 含义 | 此处访问结点时对应 |
| ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- |
| 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
| 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树 | 中序遍历 In-Order Traversal |
| 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回 | 后序遍历 Post-Order Traversal |
=== "Java"
```java title="binary_tree_dfs.java"
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
list.add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.add(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.add(root.val);
}
```
!!! note
使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。