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> 如果阅读时，发现错误，或者动画不可以显示的问题可以添加我微信好友 **[tan45du_one](https://raw.githubusercontent.com/tan45du/tan45du.github.io/master/个人微信.15egrcgqd94w.jpg)** ，备注 github + 题目 + 问题 向我反馈
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> 感谢支持，该仓库会一直维护，希望对各位有一丢丢帮助。
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> 另外希望手机阅读的同学可以来我的 <u>[**公众号：袁厨的算法小屋**](https://raw.githubusercontent.com/tan45du/test/master/微信图片_20210320152235.2pthdebvh1c0.png)</u> 两个平台同步，想要和题友一起刷题，互相监督的同学，可以在我的小屋点击<u>[**刷题小队**](https://raw.githubusercontent.com/tan45du/test/master/微信图片_20210320152235.2pthdebvh1c0.png)</u>进入。
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之前我们说过了如何利用快速排序解决荷兰国旗问题，下面我们看下这两个题目
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**剑指 Offer 45. 把数组排成最小的数**，**leetcode 179 最大数**
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这两个问题根本上也是排序问题，下面我们一起来看一下题目描述
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输入一个非负整数数组，把数组里所有数字拼接起来排成一个数，打印能拼接出的所有数字中最小的一个。
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示例 1:
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> 输入: [10,2]
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> 输出: "102"
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示例 2:
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> 输入: [3,30,34,5,9]
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> 输出: "3033459"
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题目很容易理解，就是让我们找出拼接的所有数字中最小的一个，但是我们需要注意的是，因为输出结果较大，所以我们不能返回 int 应该将数字转换成字符串，所以这类问题还是隐形的大数问题。
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我们看到这个题目时，可能想到的是这种解题思路，我们首先求出数组中所有数字的全排列，然后将排列拼起来，最后再从中取出最小的值，但是我们共有 n 个数，则有 n ！个排列，显然数目是十分庞大的，那么我们有没有其他更高效的方法呢？
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大家先来思考一下这个问题。
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我们假设两个数字 m , n 可以拼接成 mn 和 nm 那么我们怎么返回最小的那个数字呢？
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我们需要比较 mn 和 nm ，假设 mn < nm 则此时我们求得的最小数字就是 mn
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> 注：mn 代表 m 和 n 进行拼接，例如 m = 10, n = 1，mn = 101
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当 mn < nm 时，得到最小数字 mn, 因为在最小数字 mn 中 ，m 排在 n 的前面，我们此时定义 m "小于" n。
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**注意：此时的 "小于" ，并不是数值的 < 。是我们自己定义，因为 m 在最小数字 mn 中位于 n 的前面，所以我们定义 m 小于 n。**
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下面我们通过一个例子来加深下理解。
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假设 ｍ = 10，n = 1 则有 mn = 101 和 nm = 110
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我们比较 101 和 110 ，发现 101 < 110 所以此时我们的最小数字为 101 ，又因为在最小数字中 10 (m) 排在 1(n) 的前面，我们根据定义则是 10 “小于” 1，反之亦然。
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这时我们自己定义了一种新的，比较两个数字大小的规则，但是我们怎么保证这种规则是有效的？
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怎么能确保通过这种规则，拼接数组中**所有数字**（我们之前仅仅是通过两个数字进行举例），得到的数就是最小的数字呢？
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下面我们先来证明下规则的有效性
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注：为了便于分辨我们用 A,B,C 表示元素， a,b,c 表示元素用十进制表示时的位数
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（1）自反性：AA = AA，所以 A 等于 A
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（2）对称性：如果 A "小于" B 则 AB < BA，所以 BA > AB 则 B "大于" A
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（3）传递性：传递性的证明稍微有点复杂，大家记得认真阅读。
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如果 A“小于” B，则 AB < BA, 假设 A 和 B 用十进制表示时分别有 a 位和 b 位
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则 AB = A _ 10 ^ b + B , BA = B _ 10 ^ a + A
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> 例 A = 10, a = 2 (两位数) B = 1, b = 1 (一位数)
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>
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> AB = A _ 10 ^ b + B = 10 _ 10 ^ 1 + 1 = 101
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>
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> BA = B _ 10 ^ a + A = 1 _ 10 ^ 2 + 10 = 110
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AB < BA 则 **A _ 10 ^ b + B < BA = B _ 10 ^ a + A** 整理得
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A / (10^a - 1) < B / (10 ^ b - 1)
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同理，如果 B “小于” C 则 BC < CB ,C 用十进制表示时有 c 位，和前面推导过程一样
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BC = B \* 10 ^ c + C
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CB = C \* 10 ^ b + B
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BC < CB 整理得 B / (10 ^ b - 1) < C / (10 ^ c - 1);
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我们通过 A / (10 ^ a - 1) < B / (10 ^ b - 1) ，B / (10 ^ b - 1) < C / (10 ^ c - 1);
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可以得到 A / (10^a - 1) < C / (10 ^ c - 1)
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则可以得到 AC < CA 即 A “小于” C
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传递性证得。
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我们通过上面的证明过程知道了我们定义的规则，满足自反性，对称性，传递性，则说明规则是有效的。
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接下来我们证明，利用这种规则得到的数字，的确是最小的。我们利用反证法来进行证明
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我们先来回顾一下我们之前定义的规则
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> 当 mn < nm 时，得到最小数字 mn, 因为在最小数字 mn 中 ，m 排在 n 的前面，
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>
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> 我们此时定义 m "小于" n。
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我们假设我们根据上诉规则得到的数字为 xxxxxxxx
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存在这么一对字符串 A B ,虽然 AB < BA， 按照规则 A 应该排在 B 的前面，但是在最后结果中 A 排在 B 的后面。则此时共有这么几种情况
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见下图
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其实我们可以归结为两大类， B 和 A 之间没有其他值， B 和 A 之间有其他值。
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我们先来看**没有其他值**的情况
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假设我们求得的最小值为 XXXXBA, 虽然 A "小于" B,但是在最后结果中 B 排在了 A 的前面，这和我们之前定义的规则是冲突的，大家思考一下这个值为最小值吗？
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假设 XXXXBA 为最小值，但是因为 A "小于" B ,则 AB < BA ,
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所以 XXXXAB 一定小于 XXXXBA 。
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和我们之前的假设矛盾。
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当然 BAXXXX 也一样。
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下面我们来看当 B 和 A 之间有其他值的情况
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即 BXXXXA
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我们可以将 XXXX 看成一个字符串 C，则为 BCA
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因为求得的最小值为 BCA ,
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在最小值 BCA 中 B 在 C 的前面，C 在 A 的前面，
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则 BC < CB, CA < AC，B "小于 C", C “小于” A
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根据我们之前证明的传递性
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则 B "小于" A
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但是我们假设是 A “小于” B ,与假设冲突，证得
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综上所述，得出假设不成立，从而得出结论：对于排成的最小数字，不存在满足下述关系的一对字符串：虽然 A "小于" B , 但是在最后结果中 B 排在了 A 的前面.
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好啦，我们证明我们定义的规则有效下面我们直接看代码吧。继续使用我们的三向切分来解决
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Java Code:
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```java
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class Solution {
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public String minNumber(int[] nums) {
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String[] arr = new String[nums.length];
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||
//解决大数问题，将数字转换为字符串
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for (int i = 0 ; i < nums.length; ++i) {
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arr[i] = String.valueOf(nums[i]);
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}
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quickSort(arr,0,arr.length-1);
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StringBuffer str = new StringBuffer();
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for (String x : arr) {
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str.append(x);
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}
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return str.toString();
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}
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public void quickSort(String[] arr, int left, int right) {
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if (left >= right) {
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return;
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}
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int low = left;
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int high = right;
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int i = low+1;
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String pivot = arr[low];
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while (i <= high) {
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||
//比较大小
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||
if ((pivot+arr[i]).compareTo(arr[i]+pivot) > 0 ) {
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swap(arr,i++,low++);
|
||
} else if ((pivot+arr[i]).compareTo(arr[i]+pivot) < 0) {
|
||
swap(arr,i,high--);
|
||
} else {
|
||
i++;
|
||
}
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||
}
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||
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||
quickSort(arr,left,low-1);
|
||
quickSort(arr,high+1,right);
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||
|
||
}
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public void swap(String[] arr, int i, int j) {
|
||
String temp = arr[i];
|
||
arr[i] = arr[j];
|
||
arr[j] = temp;
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||
}
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||
}
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```
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Python Code:
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```python
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from typing import List
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class Solution:
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def minNumber(self, nums: List[int])->str:
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arr = [''] * len(nums)
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||
# 解决大数问题，将数字转换为字符串
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for i in range(0, len(nums)):
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arr[i] = str(nums[i])
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||
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||
self.quickSort(arr, 0, len(arr) - 1)
|
||
s = ''
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for x in arr:
|
||
s += x
|
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return s
|
||
|
||
def quickSort(self, arr: List[str], left: int, right: int):
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if left >= right:
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return
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low = left
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high = right
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i = low + 1
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pivot = arr[low]
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||
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while i <= high:
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||
# 比较大小
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||
if int(pivot + arr[i]) > int(arr[i] + pivot):
|
||
self.swap(arr, i, low)
|
||
i += 1
|
||
low += 1
|
||
elif int(pivot + arr[i]) < int(arr[i] + pivot):
|
||
self.swap(arr, i, high)
|
||
high -= 1
|
||
else:
|
||
i += 1
|
||
|
||
self.quickSort(arr, left, low - 1)
|
||
self.quickSort(arr, high + 1, right)
|
||
|
||
def swap(self, arr: List[str], i: int, j: int):
|
||
temp = arr[i]
|
||
arr[i] = arr[j]
|
||
arr[j] = temp
|
||
```
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