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Yudong Jin 2022-12-07 21:38:58 +08:00
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@ -30,7 +30,7 @@ comments: true
### 理论估算 ### 理论估算
既然实际测试具有很大的局限性,那么我们是否可以仅通过一些计算,就获知算法的效率水平呢?答案是肯定的,我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。 既然实际测试具有很大的局限性,那么我们是否可以仅通过一些计算,就获知算法的效率水平呢?答案是肯定的,我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。
**复杂度分析评估随着输入数据量的增长,算法的运行时间和占用空间的增长趋势** 。根据时间和空间两方面,复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。 **复杂度分析评估随着输入数据量的增长,算法的运行时间和占用空间的增长趋势** 。根据时间和空间两方面,复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。

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@ -13,8 +13,8 @@ comments: true
### 时间复杂度 ### 时间复杂度
- 「时间复杂度」统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势,可以有效评估算法效率,但在某些情况下可能失效,比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时,无法精确对比算法效率的优劣性。 - 「时间复杂度」统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势,可以有效评估算法效率,但在某些情况下可能失效,比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时,无法精确对比算法效率的优劣性。
- 「最差时间复杂度」使用大 $O$ 符号表示,即函数渐上界,其反映当 $n$ 趋于正无穷时,$T(n)$ 处于何种增长级别。 - 「最差时间复杂度」使用大 $O$ 符号表示,即函数渐上界,其反映当 $n$ 趋于正无穷时,$T(n)$ 处于何种增长级别。
- 推算时间复杂度分为两步,首先统计计算操作数量,再判断渐上界。 - 推算时间复杂度分为两步,首先统计计算操作数量,再判断渐上界。
- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n \log n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ , $O(n!)$ 。 - 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n \log n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ , $O(n!)$ 。
- 某些算法的时间复杂度不是恒定的,而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为「最差时间复杂度」和「最佳时间复杂度」,后者几乎不用,因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。 - 某些算法的时间复杂度不是恒定的,而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为「最差时间复杂度」和「最佳时间复杂度」,后者几乎不用,因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。
- 「平均时间复杂度」可以反映在随机数据输入下的算法效率,最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布,以及综合后的数学期望。 - 「平均时间复杂度」可以反映在随机数据输入下的算法效率,最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布,以及综合后的数学期望。

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@ -203,7 +203,7 @@ $$
**时间复杂度也存在一定的局限性。** 比如,虽然算法 `A``C` 的时间复杂度相同,但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如,虽然算法 `B``C` 的时间复杂度要更高,但在输入数据大小 $n$ 比较小时,算法 `B` 是要明显优于算法 `C` 的。即使存在这些问题,计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。 **时间复杂度也存在一定的局限性。** 比如,虽然算法 `A``C` 的时间复杂度相同,但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如,虽然算法 `B``C` 的时间复杂度要更高,但在输入数据大小 $n$ 比较小时,算法 `B` 是要明显优于算法 `C` 的。即使存在这些问题,计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。
## 函数渐上界 ## 函数渐上界
设算法「计算操作数量」为 $T(n)$ ,其是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数。例如,以下算法的操作数量为 设算法「计算操作数量」为 $T(n)$ ,其是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数。例如,以下算法的操作数量为
@ -284,34 +284,34 @@ $$
$T(n)$ 是个一次函数,说明时间增长趋势是线性的,因此易得时间复杂度是线性阶。 $T(n)$ 是个一次函数,说明时间增长趋势是线性的,因此易得时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ,这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」代表函数 $T(n)$ 的「渐上界 asymptotic upper bound」。 我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ,这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」代表函数 $T(n)$ 的「渐上界 asymptotic upper bound」。
我们要推算时间复杂度,本质上是在计算「操作数量函数 $T(n)$ 」的渐进上界。下面我们先来看看函数渐进上界的数学定义。 我们要推算时间复杂度,本质上是在计算「操作数量函数 $T(n)$ 」的渐近上界。下面我们先来看看函数渐近上界的数学定义。
!!! abstract "函数渐上界" !!! abstract "函数渐上界"
若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ,使得对于所有的 $n > n_0$ ,均有 若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ,使得对于所有的 $n > n_0$ ,均有
$$ $$
T(n) \leq c \cdot f(n) T(n) \leq c \cdot f(n)
$$ $$
则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐上界,记为 则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐上界,记为
$$ $$
T(n) = O(f(n)) T(n) = O(f(n))
$$ $$
![asymptotic_upper_bound](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png) ![asymptotic_upper_bound](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)
<p align="center"> Fig. 函数的渐上界 </p> <p align="center"> Fig. 函数的渐上界 </p>
本质上看,计算渐上界就是在找一个函数 $f(n)$ **使得在 $n$ 趋向于无穷大时,$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别(仅相差一个常数项 $c$ 的倍数)**。 本质上看,计算渐上界就是在找一个函数 $f(n)$ **使得在 $n$ 趋向于无穷大时,$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别(仅相差一个常数项 $c$ 的倍数)**。
!!! tip !!! tip
上界的数学味儿有点重,如果你感觉没有完全理解,无需担心,因为在实际使用中我们只需要会推算即可,数学意义可以慢慢领悟。 上界的数学味儿有点重,如果你感觉没有完全理解,无需担心,因为在实际使用中我们只需要会推算即可,数学意义可以慢慢领悟。
## 推算方法 ## 推算方法
推算出 $f(n)$ 后,我们就得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么,如何来确定渐进上界 $f(n)$ 呢?总体分为两步,首先「统计操作数量」,然后「判断渐进上界」。 推算出 $f(n)$ 后,我们就得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么,如何来确定渐近上界 $f(n)$ 呢?总体分为两步,首先「统计操作数量」,然后「判断渐近上界」。
### 1. 统计操作数量 ### 1. 统计操作数量
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``` ```
### 2. 判断渐上界 ### 2. 判断渐上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时,最高阶的项将处于主导作用,其它项的影响都可以被忽略。 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时,最高阶的项将处于主导作用,其它项的影响都可以被忽略。
@ -1330,7 +1330,7 @@ $$
- 当 `nums = [?, ?, ..., 1]`,即当末尾元素是 $1$ 时,则需完整遍历数组,此时达到 **最差时间复杂度 $O(n)$** - 当 `nums = [?, ?, ..., 1]`,即当末尾元素是 $1$ 时,则需完整遍历数组,此时达到 **最差时间复杂度 $O(n)$**
- 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ,即当首个数字为 $1$ 时,无论数组多长都不需要继续遍历,此时达到 **最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** - 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ,即当首个数字为 $1$ 时,无论数组多长都不需要继续遍历,此时达到 **最佳时间复杂度 $\Omega(1)$**
「函数渐上界」使用大 $O$ 记号表示,代表「最差时间复杂度」。与之对应,「函数渐下界」用 $\Omega$ 记号Omega Notation来表示代表「最佳时间复杂度」。 「函数渐上界」使用大 $O$ 记号表示,代表「最差时间复杂度」。与之对应,「函数渐下界」用 $\Omega$ 记号Omega Notation来表示代表「最佳时间复杂度」。
=== "Java" === "Java"

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@ -44,7 +44,7 @@ comments: true
首先介绍数据结构与算法的评价维度、算法效率的评估方法,引出了计算复杂度概念。 首先介绍数据结构与算法的评价维度、算法效率的评估方法,引出了计算复杂度概念。
接下来,从 **函数渐上界** 入手,分别介绍了 **时间复杂度****空间复杂度** ,包括推算方法、常见类型、示例等。同时,剖析了 **最差、最佳、平均** 时间复杂度的联系与区别。 接下来,从 **函数渐上界** 入手,分别介绍了 **时间复杂度****空间复杂度** ,包括推算方法、常见类型、示例等。同时,剖析了 **最差、最佳、平均** 时间复杂度的联系与区别。
### 数据结构 ### 数据结构