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c0fd51c312
@ -1,18 +1,17 @@
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# AVL 树
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## AVL 树的起源
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## AVL 树起源
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在「二叉搜索树」章节中提到，如进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。例如，删除结点 4 后，该二叉搜索树就会退化为链表。
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在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
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=== "删除前"
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=== "删除后"
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为了解决这一问题，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of info
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rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，常被称为「AVL 树」。
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为了解决这一问题，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「平衡二叉搜索树」，并以两位作者命名，常被称为「AVL 树」。
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## AVL 树的性质
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## AVL 树性质
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「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质。「平衡二叉树」规定树中任意结点左右子树的高度差的绝对值不能超过 1 。本文定义：
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@ -23,11 +22,11 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
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设「平衡因子」为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子满足 $-1 \le f \le 1$
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## AVL 树的优势
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## AVL 树优势
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提出 AVL 树的两位大佬的厉害之处在于，他们设计了一系列操作，使得 AVL 树在不断添加与删除结点后，仍然不会发生退化，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
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提出 AVL 树的两位大佬的厉害之处在于，**他们设计了一系列操作，使得 AVL 树在不断添加与删除结点后，仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
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## AVL 树的操作
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## AVL 树操作
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### 查找结点
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@ -35,17 +34,17 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
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### 插入结点
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由于平衡二叉树需要保证其任意结点的平衡因子满足限制，所以在插入结点后可能会造成 AVL 树的失衡。例如，平衡二叉树在插入结点 0 前 / 后如下图所示（括号内表示当前结点的平衡因子）：
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**插入结点可能会造成平衡二叉树失衡。** 例如下图（括号内数值为结点的平衡因子），插入后结点 2 和 结点 3 已经不满足平衡二叉树的性质，我们将这一现象称为「失衡」。
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=== "插入前"
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=== "插入后"
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观察发现，插入后结点 2 和 结点 3 已经不满足平衡二叉树的性质，我们将这一现象称为 **失衡** 。为了解决该问题，首先需要分析哪些结点会出现失衡，经过观察可得两条规律：
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为了解决失衡问题，首先需要 **分析哪些结点会出现失衡**，经过观察可得两条规律：
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- 出现失衡的结点都必然出现在新插入结点与根结点的路径上；
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- 在这条路径上，该插入结点的父结点一定不会失衡，即首先失衡的结点必然是父节点之上的结点；
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- 在此路径上，出现失衡的结点必然是新插入结点的父结点之上的结点；
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!!! tip "证明"
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@ -56,19 +55,22 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
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因此父结点一定不会失衡，证毕。
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现在考虑如何将一个失衡点恢复为平衡点。
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**接下来考虑如何将一个失衡点恢复为平衡点。** 我们知道二叉搜索树的中序遍历序列一定是严格升序的，而在论文中，作者定义了一种「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的情况下，降低失衡点左右子树的高度差** 。
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我们知道对于二叉搜索树的中序遍历序列一定是严格升序的。在论文中，作者定义了一种被称为「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的情况下，降低失衡点左右子树的高度差** 。
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!!! note
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换言之，「旋转」操作可以保持树为「二叉搜索树」，并且可让树逐渐变为平衡二叉树。
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#### 右旋
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以上文中提到的发生失衡的 AVL 树为例，「右旋」的具体操作为：
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以上文中提到的发生失衡的 AVL 树为例，首个失衡点是 **结点 2** 。将该结点记为 `node` ，其左子节点记为 `node.left` ，「右旋」就好像将这两个结点进行 “顺时针旋转” ，操作流程为：
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1. 首先可以找到第一个发生失衡的点是结点 2 。
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2. 以该点为轴顺时针旋转，使该点左孩子的右子树指向该点，该点的左子树指向其左孩子的右子树。
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3. 将原本的左孩子连接至该点的父结点。
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1. 令 `node.left` 的右指针指向 `node` ；
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2. 令 `node` 的左指针指向 `node.left` 的右子树。
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3. 令 `node` 的父结点指向 `node.left` ，替代原来 `node` 的位置。
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观察得知，经过右旋后，整棵二叉树已经恢复平衡，并且中序遍历序列也保持不变。
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以上流程比较晦涩难记，实际上，右旋就像是把 `node.left` “拎起来” 顺时针旋转了一下，可以使用这个动画辅助理解。
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观察得知，经过右旋后，整棵二叉树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
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=== "Step 1"
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@ -79,13 +81,13 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
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#### 左旋
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下面来看与之对应的「左旋」，需要使用左旋的情况与右旋相似，下面以例子来说明左旋的过程：
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类似地，下图中首个失衡点是 **结点 3** ，将失衡结点记为 `node` ，其右子节点记为 `node.right` ，「左旋」就好像将这两个结点进行 “逆时针旋转” ，操作流程为：
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1. 首先可以找到第一个发生失衡的点是结点 3 。
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2. 以该点为轴逆时针旋转，使该点右孩子的左子树指向该点，该点的右子树指向其右孩子的左子树。
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3. 将原本的右孩子连接至该点的父结点。
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1. 令 `node.right` 的左指针指向 `node` ；
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2. 令 `node` 的右指针指向 `node.right` 的左子树。
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3. 令 `node` 的父结点指向 `node.right` ，替代原来 `node` 的位置。
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与右旋相同，左旋也可以让失衡的结点恢复平衡，同时不会改变中序遍历序列。
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观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的**，因此我们只需记住一个操作即可，另一个可以直接推导出来。
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=== "Step 1"
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@ -96,20 +98,12 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
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#### 双旋
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「双旋」分为两种，一种是「先左旋后右旋」，另一种是「先右旋后左旋」。
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「双旋」是左旋和右旋的组合，一种是「先左旋后右旋」，另一种是「先右旋后左旋」。
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以先左后右为例，如果直接对下图二叉树的失衡点执行右旋，会发现并不能使失衡点恢复平衡。
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比如对于下图的失衡结点 3 ，单一使用左旋或右旋无法使该结点恢复平衡，需要「先左旋后右旋」。设结点 3 为 `node` ，其左子结点为 `node.left` ，则分为两步：
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=== "Step 1"
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=== "Step 2"
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为了解决该问题，需要「先左旋后右旋」，即分为两步：
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1. 将失衡点的左孩子执行左旋。
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2. 对失衡点执行右旋。
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1. 对 `node.left` 执行「左旋」。
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2. 对 `node` 执行「右旋」。
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=== "Step 1"
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@ -118,7 +112,9 @@ rmation" 中提出了「平衡二叉搜索树」，也以两位作者命名，
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=== "Step 3"
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同理，「先左旋后右旋」是先将失衡点的左孩子执行右旋，然后对失衡点执行左旋。
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同理，「先右旋后左旋」是先对 `node.right` 执行右旋，然后对 `node` 执行左旋。
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（图）
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#### 旋转选择
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