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二叉搜索树
「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
- 对于根结点，左子树中所有结点的值
<根结点的值<右子树中所有结点的值； - 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件
1.；
二叉搜索树的操作
查找结点
给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root 出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系
- 若
cur.val < val，说明目标结点在cur的右子树中，因此执行cur = cur.right； - 若
cur.val > val，说明目标结点在cur的左子树中，因此执行cur = cur.left； - 若
cur.val = val，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 查找结点 */
TreeNode search(int num) {
TreeNode cur = root;
// 循环查找，越过叶结点后跳出
while (cur != null) {
// 目标结点在 root 的右子树中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 目标结点在 root 的左子树中
else if (cur.val > num) cur = cur.left;
// 找到目标结点，跳出循环
else break;
}
// 返回目标结点
return cur;
}
```
插入结点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树 “左子树 < 根结点 < 右子树” 的性质，插入操作分为两步：
-
查找插入位置： 与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前节点值和
num的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到\text{null}）时跳出循环； -
在该位置插入结点： 初始化结点
num，将该结点放到\text{null}的位置 ；
二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 插入结点 */
TreeNode insert(int num) {
// 若树为空，直接提前返回
if (root == null) return null;
TreeNode cur = root, pre = null;
// 循环查找，越过叶结点后跳出
while (cur != null) {
// 找到重复结点，直接返回
if (cur.val == num) return null;
pre = cur;
// 插入位置在 root 的右子树中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 插入位置在 root 的左子树中
else cur = cur.left;
}
// 插入结点 val
TreeNode node = new TreeNode(num);
if (pre.val < num) pre.right = node;
else pre.left = node;
return node;
}
```
为了插入结点，需要借助 辅助结点 prev 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 \text{null} 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。
与查找结点相同，插入结点使用 O(\log n) 时间。
删除结点
与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的 “左子树 < 根结点 < 右子树” 的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：
待删除结点的子结点数量 = 0 。 表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。
待删除结点的子结点数量 = 1 。 将待删除结点替换为其子结点。
待删除结点的子结点数量 = 2 。 删除操作分为三步：
- 找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点，记为
nex； - 在树中递归删除结点
nex； - 使用
nex替换待删除结点；
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
删除结点操作也使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除结点 O(\log n) ，获取中序遍历后继结点 O(\log n) 。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 删除结点 */
TreeNode remove(int num) {
// 若树为空，直接提前返回
if (root == null) return null;
TreeNode cur = root, pre = null;
// 循环查找，越过叶结点后跳出
while (cur != null) {
// 找到待删除结点，跳出循环
if (cur.val == num) break;
pre = cur;
// 待删除结点在 root 的右子树中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 待删除结点在 root 的左子树中
else cur = cur.left;
}
// 若无待删除结点，则直接返回
if (cur == null) return null;
// 子结点数量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
// 删除结点 cur
if (pre.left == cur) pre.left = child;
else pre.right = child;
}
// 子结点数量 = 2
else {
// 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
TreeNode nex = min(cur.right);
int tmp = nex.val;
// 递归删除结点 nex
remove(nex.val);
// 将 nex 的值复制给 cur
cur.val = tmp;
}
return cur;
}
/* 获取最小结点 */
TreeNode min(TreeNode root) {
if (root == null) return root;
// 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
while (root.left != null) {
root = root.left;
}
return root;
}
```
二叉搜索树的优势
假设给定 n 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
- 查找元素： 由于数组是乱序的，因此需要遍历数组来确定，使用
O(n)时间； - 插入元素： 只需将元素添加至数组尾部即可，使用
O(1)时间； - 删除元素： 先查找元素，使用
O(\log n)时间，再在数组中删除该元素，使用O(n)时间； - 获取最小 / 最大元素： 需要遍历数组来确定，使用
O(1)时间；
为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：
- 查找元素： 由于数组已排序，可以使用二分查找，使用
O(\log n)时间； - 插入元素： 为了保持数组是有序的，需插入到数组某位置，平均使用
O(n)时间； - 删除元素： 与乱序数组中的情况相同，使用
O(n)时间； - 获取最小 / 最大元素： 数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用
O(1)时间；
观察发现，乱序数组和排序数组中的各类操作的时间复杂度是 “偏科” 的，即有的快有的慢；而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 n 很大时有巨大优势。
| 乱序数组 | 排序数组 | 二叉搜索树 | |
|---|---|---|---|
| 查找指定元素 | O(n) |
O(\log n) |
O(\log n) |
| 插入元素 | O(1) |
O(n) |
O(\log n) |
| 删除元素 | O(n) |
O(n) |
O(\log n) |
| 获取最小 / 最大元素 | O(n) |
O(1) |
O(\log n) |
二叉搜索树的退化
二叉搜索树的理想状态是「完美二叉树」，我们称这样的二叉树是 “平衡” 的，此时可以在 \log n 轮循环内查找任意结点。
如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 O(n) 。
!!! note
在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。
二叉搜索树常见应用
- 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
- 各种搜索算法的底层数据结构。
- 存储数据流，保持其已排序。