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时间复杂度
统计算法运行时间
运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 准确预估一段代码的运行时间 ，该如何做呢？
- 首先需要 确定运行平台 ，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些都会影响到代码的运行效率。
- 评估 各种计算操作的所需运行时间 ，例如加法操作
+需要 1 ns ，乘法操作*需要 10 ns ，打印操作需要 5 ns 等。 - 根据代码 统计所有计算操作的数量 ，并将所有操作的执行时间求和，即可得到运行时间。
例如以下代码，输入数据大小为 n ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 6n + 12 ns 。
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
=== "Java"
```java title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
System.out.println(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
```
=== "Python"
```python title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n):
a = 2 # 1 ns
a = a + 1 # 1 ns
a = a * 2 # 10 ns
# 循环 n 次
for _ in range(n): # 1 ns
print(0) # 5 ns
```
但实际上， 统计算法的运行时间既不合理也不现实。 首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。
统计时间增长趋势
「时间复杂度分析」采取了不同的做法，其统计的不是算法运行时间，而是 算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势 。
“时间增长趋势” 这个概念比较抽象，我们借助一个例子来理解。设输入数据大小为 n ，给定三个算法 A , B , C 。
- 算法
A只有1个打印操作，算法运行时间不随着n增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。 - 算法
B中的打印操作需要循环n次，算法运行时间随着n增大成线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。 - 算法
C中的打印操作需要循环1000000次，但运行时间仍与输入数据大小n无关。因此C的时间复杂度和A相同，仍为「常数阶」。
=== "Java"
```java title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
System.out.println(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
System.out.println(0);
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
```
=== "Python"
```python title=""
# 算法 A 时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n):
print(0)
# 算法 B 时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n):
for _ in range(n):
print(0)
# 算法 C 时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n):
for _ in range(1000000):
print(0)
```
Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势
相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？
时间复杂度可以有效评估算法效率。 算法 B 运行时间的增长是线性的，在 n > 1 时慢于算法 A ，在 n > 1000000 时慢于算法 C 。实质上，只要输入数据大小 n 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这也正是时间增长趋势的含义。
时间复杂度分析将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」。 这是因为，无论是运行平台、还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因此，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的 “单位时间” 。
时间复杂度也存在一定的局限性。 比如，虽然算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 B 比 C 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 n 比较小时，算法 B 是要明显优于算法 C 的。即使存在这些问题，计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。
函数渐进上界
设算法「计算操作数量」为 T(n) ，其是一个关于输入数据大小 n 的函数。例如，以下算法的操作数量为
T(n) = 3 + 2n
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
System.out.println(0); // +1
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n):
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# 循环 n 次
for i in range(n): # +1
print(0) # +1
}
```
T(n) 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 O(n) ，这个数学符号被称为「大 O 记号 Big-O Notation」，代表函数 T(n) 的「渐进上界 asymptotic upper bound」。
我们要推算时间复杂度，本质上是在计算「操作数量函数 T(n) 」的渐进上界。下面我们先来看看函数渐进上界的数学定义。
!!! abstract "函数渐进上界"
若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有
$$
T(n) \leq c \cdot f(n)
$$
则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐进上界，记为
$$
T(n) = O(f(n))
$$
Fig. 函数的渐进上界
本质上看，计算渐进上界就是在找一个函数 f(n) ，使得在 n 趋向于无穷大时，T(n) 和 f(n) 处于相同的增长级别（仅相差一个常数项 c 的倍数）。
!!! tip
渐进上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，无需担心，因为在实际使用中我们只需要会推算即可，数学意义可以慢慢领悟。
推算方法
推算出 f(n) 后，我们就得到时间复杂度 O(f(n)) 。那么，如何来确定渐进上界 f(n) 呢？总体分为两步，首先「统计操作数量」，然后「判断渐进上界」。
1. 统计操作数量
对着代码，从上到下一行一行地计数即可。然而，由于上述 c \cdot f(n) 中的常数项 c 可以取任意大小，因此操作数量 T(n) 中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则，可以总结出以下计数偷懒技巧：
- 跳过数量与
n无关的操作。 因为他们都是T(n)中的常数项，对时间复杂度不产生影响。 - 省略所有系数。 例如，循环
2n次、5n + 1次、……，都可以化简记为n次，因为n前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 - 循环嵌套时使用乘法。 总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述
1.和2.技巧。
根据以下示例，使用上述技巧前、后的统计结果分别为
\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
\end{aligned}
最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 O(n^2) 。
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
System.out.println(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
System.out.println(0);
}
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n):
a = 1 # +0（技巧 1）
a = a + n # +0（技巧 1）
# +n（技巧 2）
for i in range(5 * n + 1):
print(0)
# +n*n（技巧 3）
for i in range(2 * n):
for j in range(n + 1):
print(0)
```
2. 判断渐进上界
时间复杂度由多项式 T(n) 中最高阶的项来决定。这是因为在 n 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。
以下表格给出了一些例子，其中有一些夸张的值，是想要向大家强调 系数无法撼动阶数 这一结论。在 n 趋于无穷大时，这些常数都是 “浮云” 。
操作数量 T(n) |
时间复杂度 O(f(n)) |
|---|---|
100000 |
O(1) |
3n + 2 |
O(n) |
2n^2 + 3n + 2 |
O(n^2) |
n^3 + 10000n^2 |
O(n^3) |
2^n + 10000n^{10000} |
O(2^n) |
常见类型
设输入数据大小为 n ，常见的时间复杂度类型有（从低到高排列）
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
\end{aligned}
Fig. 时间复杂度的常见类型
!!! tip
部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
常数阶 O(1)
常数阶的操作数量与输入数据大小 n 无关，即不随着 n 的变化而变化。
对于以下算法，无论操作数量 size 有多大，只要与数据大小 n 无关，时间复杂度就仍为 O(1) 。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 常数阶 """
def constant(n):
count = 0
size = 100000
for _ in range(size):
count += 1
return count
```
线性阶 O(n)
线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 线性阶 """
def linear(n):
count = 0
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 O(n) ，其中 n 为数组或链表的长度。
!!! tip
**数据大小 $n$ 是根据输入数据的类型来确定的。** 比如，在上述示例中，我们直接将 $n$ 看作输入数据大小；以下遍历数组示例中，数据大小 $n$ 为数组的长度。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 线性阶（遍历数组）"""
def array_traversal(nums):
count = 0
# 循环次数与数组长度成正比
for num in nums:
count += 1
return count
```
平方阶 O(n^2)
平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环，外层循环和内层循环都为 O(n) ，总体为 O(n^2) 。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 平方阶 """
def quadratic(n):
count = 0
# 循环次数与数组长度成平方关系
for i in range(n):
for j in range(n):
count += 1
return count
```
Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度
以「冒泡排序」为例，外层循环 n - 1 次，内层循环 n-1, n-2, \cdots, 2, 1 次，平均为 \frac{n}{2} 次，因此时间复杂度为 O(n^2) 。
O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：冒泡操作
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 平方阶（冒泡排序）"""
def bubble_sort(nums):
count = 0 # 计数器
# 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# 内循环：冒泡操作
for j in range(i):
if nums[j] > nums[j + 1]:
# 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作
return count
```
指数阶 O(2^n)
!!! note
生物学科中的 “细胞分裂” 即是指数阶增长：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后为 $2$ 个，分裂两轮后为 $4$ 个，……，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
指数阶增长地非常快，在实际应用中一般是不能被接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度是 O(2^n) ，那么一般都需要使用「动态规划」或「贪心算法」等算法来求解。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 指数阶（循环实现）"""
def exponential(n):
count, base = 0, 1
# cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in range(n):
for _ in range(base):
count += 1
base *= 2
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
```
Fig. 指数阶的时间复杂度
在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 n 次后停止。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 指数阶（递归实现）"""
def exp_recur(n):
if n == 1: return 1
return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
```
对数阶 O(\log n)
对数阶与指数阶正好相反，后者反映 “每轮增加到两倍的情况” ，而前者反映 “每轮缩减到一半的情况” 。对数阶仅次于常数阶，时间增长的很慢，是理想的时间复杂度。
对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现 “一分为多” 、“化繁为简” 的算法思想。
设输入数据大小为 n ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \log_2 n ，即 2^n 的反函数。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 对数阶（循环实现）"""
def logarithmic(n):
count = 0
while n > 1:
n = n / 2
count += 1
return count
```
Fig. 对数阶的时间复杂度
与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 \log_2 n 的递归树。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 对数阶（递归实现）"""
def log_recur(n):
if n <= 1: return 0
return log_recur(n / 2) + 1
```
线性对数阶 O(n \log n)
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 O(\log n) 和 O(n) 。
主流排序算法的时间复杂度都是 O(n \log n ) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 线性对数阶 """
def linear_log_recur(n):
if n <= 1: return 1
count = linear_log_recur(n // 2) + \
linear_log_recur(n // 2)
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
Fig. 线性对数阶的时间复杂度
阶乘阶 O(n!)
阶乘阶对应数学上的「全排列」。即给定 n 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 n 个，第二层分裂出 n - 1 个，…… ，直至到第 n 层时终止分裂。
=== "Java"
```java title="" title="time_complexity_types.java"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 阶乘阶（递归实现）"""
def factorial_recur(n):
if n == 0: return 1
count = 0
# 从 1 个分裂出 n 个
for _ in range(n):
count += factorial_recur(n - 1)
return count
```
Fig. 阶乘阶的时间复杂度
最差、最佳、平均时间复杂度
某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。 举一个例子，输入一个长度为 n 数组 nums ，其中 nums 由从 1 至 n 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 1 的索引。我们可以得出以下结论：
- 当
nums = [?, ?, ..., 1]，即当末尾元素是1时，则需完整遍历数组，此时达到 最差时间复杂度 $O(n)$ ； - 当
nums = [1, ?, ?, ...]，即当首个数字为1时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 最佳时间复杂度 $\Omega(1)$ ；
「函数渐进上界」使用大 O 记号表示，代表「最差时间复杂度」。与之对应，「函数渐进下界」用 \Omega 记号（Omega Notation）来表示，代表「最佳时间复杂度」。
=== "Java"
```java title="" title="worst_best_time_complexity.java"
public class worst_best_time_complexity {
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
static int[] randomNumbers(int n) {
Integer[] nums = new Integer[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
// Integer[] -> int[]
int[] res = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i] = nums[i];
}
return res;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
static int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
/* Driver Code */
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < 10; i++) {
int n = 100;
int[] nums = randomNumbers(n);
int index = findOne(nums);
System.out.println("打乱后的数组为 " + Arrays.toString(nums));
System.out.println("数字 1 的索引为 " + index);
}
}
}
```
=== "C++"
```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
```
=== "Python"
```python title="worst_best_time_complexity.py"
""" 生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱 """
def random_numbers(n):
# 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = [i for i in range(1, n + 1)]
# 随机打乱数组元素
random.shuffle(nums)
return nums
""" 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 """
def find_one(nums):
for i in range(len(nums)):
if nums[i] == 1:
return i
return -1
""" Driver Code """
if __name__ == "__main__":
for i in range(10):
n = 100
nums = random_numbers(n)
index = find_one(nums)
print("\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums)
print("数字 1 的索引为", index)
```
!!! tip
我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」，因为往往只有很小概率下才能达到，会带来一定的误导性。反之，「最差时间复杂度」最为实用，因为它给出了一个 “效率安全值” ，让我们可以放心地使用算法。
从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在 “特殊分布的数据” 中，这些情况的出现概率往往很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。相对地，「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 \Theta 记号（Theta Notation）来表示。
对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 1 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 \frac{n}{2} ，平均时间复杂度为 \Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n) 。
但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。这种情况下，我们一般使用最差时间复杂度来作为算法效率的评判标准。
!!! question "为什么很少看到 \Theta 符号？"
实际中我们经常使用「大 $O$ 符号」来表示「平均复杂度」，这样严格意义上来说是不规范的。这可能是因为 $O$ 符号实在是太朗朗上口了。</br>如果在本书和其他资料中看到类似 **平均时间复杂度 $O(n)$** 的表述，请你直接理解为 $\Theta(n)$ 即可。