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comments: true
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# 空间复杂度
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「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势** 。这个概念与时间复杂度很类似。
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## 算法相关空间
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算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：
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- 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
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- 「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；
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- 「输出空间」用于存储算法的输出数据；
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!!! tip
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通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
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暂存空间可分为三个部分：
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- 「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 **常量、变量、对象** 等。
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- 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。
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- 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，**在实际统计中一般忽略不计**。
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<p align="center"> Fig. 算法使用的相关空间 </p>
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 类 */
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class Node {
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int val;
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Node next;
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Node(int x) { val = x; }
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}
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/* 函数（或称方法） */
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int function() {
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// do something...
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return 0;
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}
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int algorithm(int n) { // 输入数据
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final int a = 0; // 暂存数据（常量）
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int b = 0; // 暂存数据（变量）
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Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
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int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
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return a + b + c; // 输出数据
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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```
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=== "Python"
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```python title=""
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""" 类 """
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class Node:
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def __init__(self, x):
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self.val = x # 结点值
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self.next = None # 指向下一结点的指针（引用）
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""" 函数（或称方法） """
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def function():
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# do something...
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return 0
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def algorithm(n): # 输入数据
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a = 0 # 暂存数据（常量）
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b = 0 # 暂存数据（变量）
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node = Node(0) # 暂存数据（对象）
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c = function() # 栈帧空间（调用函数）
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return a + b + c # 输出数据
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```
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## 推算方法
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空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计 “计算操作数量” 变为统计 “使用空间大小” 。与时间复杂度不同的是，**我们一般只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
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**最差空间复杂度中的 “最差” 有两层含义**，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。
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- **以最差输入数据为准。** 当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但是当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
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- **以算法运行过程中的峰值内存为准。** 程序在执行最后一行之前，使用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
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=== "Java"
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```java title=""
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void algorithm(int n) {
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int a = 0; // O(1)
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int[] b = new int[10000]; // O(1)
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if (n > 10)
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int[] nums = new int[n]; // O(n)
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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```
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=== "Python"
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```python title=""
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def algorithm(n):
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a = 0 # O(1)
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b = [0] * 10000 # O(1)
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if n > 10:
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nums = [0] * n # O(n)
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```
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**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。** 例如函数 `loop()`，在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而使用 $O(n)$ 的栈帧空间。
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=== "Java"
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```java title=""
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int function() {
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// do something
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return 0;
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}
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/* 循环 O(1) */
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void loop(int n) {
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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function();
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}
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}
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/* 递归 O(n) */
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void recur(int n) {
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if (n == 1) return;
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return recur(n - 1);
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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```
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=== "Python"
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```python title=""
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def function():
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# do something
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return 0
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""" 循环 O(1) """
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def loop(n):
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for _ in range(n):
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function()
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""" 递归 O(n) """
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def recur(n):
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if n == 1: return
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return recur(n - 1)
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```
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## 常见类型
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设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
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$$
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\begin{aligned}
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O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
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\end{aligned}
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$$
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<p align="center"> Fig. 空间复杂度的常见类型 </p>
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!!! tip
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部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
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### 常数阶 $O(1)$
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常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
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需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
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=== "Java"
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```java title="space_complexity_types.java"
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/* 常数阶 */
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void constant(int n) {
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// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
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final int a = 0;
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int b = 0;
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int[] nums = new int[10000];
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ListNode node = new ListNode(0);
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||
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
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int c = 0;
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}
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// 循环中的函数占用 O(1) 空间
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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function();
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}
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity_types.cpp"
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```
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=== "Python"
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```python title="space_complexity_types.py"
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""" 常数阶 """
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def constant(n):
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# 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
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a = 0
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nums = [0] * 10000
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||
node = ListNode(0)
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||
# 循环中的变量占用 O(1) 空间
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for _ in range(n):
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||
c = 0
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# 循环中的函数占用 O(1) 空间
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||
for _ in range(n):
|
||
function()
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```
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### 线性阶 $O(n)$
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线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
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=== "Java"
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```java title="space_complexity_types.java"
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/* 线性阶 */
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void linear(int n) {
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||
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
|
||
int[] nums = new int[n];
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||
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
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List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
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||
for (int i = 0; i < n; i++) {
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||
nodes.add(new ListNode(i));
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||
}
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||
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
|
||
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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map.put(i, String.valueOf(i));
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}
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity_types.cpp"
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```
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=== "Python"
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```python title="space_complexity_types.py"
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""" 线性阶 """
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def linear(n):
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# 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
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nums = [0] * n
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||
# 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
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mapp = {}
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for i in range(n):
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mapp[i] = str(i)
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```
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以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
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=== "Java"
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```java title="space_complexity_types.java"
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||
/* 线性阶（递归实现） */
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void linearRecur(int n) {
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System.out.println("递归 n = " + n);
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if (n == 1) return;
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linearRecur(n - 1);
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity_types.cpp"
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```
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=== "Python"
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||
```python title="space_complexity_types.py"
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||
""" 线性阶（递归实现） """
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def linearRecur(n):
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print("递归 n = ", n)
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if n == 1: return
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linearRecur(n - 1)
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```
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<p align="center"> Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
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### 平方阶 $O(n^2)$
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平方阶常见于元素数量与 $n$ 成平方关系的矩阵、图。
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=== "Java"
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```java title="space_complexity_types.java"
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/* 平方阶 */
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void quadratic(int n) {
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// 矩阵占用 O(n^2) 空间
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int numMatrix[][] = new int[n][n];
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// 二维列表占用 O(n^2) 空间
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List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
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for (int j = 0; j < n; j++) {
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tmp.add(0);
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}
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numList.add(tmp);
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}
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||
}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
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||
```
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=== "Python"
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||
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||
```python title="space_complexity_types.py"
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||
""" 平方阶 """
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def quadratic(n):
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||
# 二维列表占用 O(n^2) 空间
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||
num_matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
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```
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在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorihtm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体使用 $O(n^2)$ 空间。
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||
=== "Java"
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```java title="space_complexity_types.java"
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/* 平方阶（递归实现） */
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int quadraticRecur(int n) {
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if (n <= 0) return 0;
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// 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
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int[] nums = new int[n];
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||
return quadraticRecur(n - 1);
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||
}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
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```
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||
=== "Python"
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||
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||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 平方阶（递归实现） """
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def quadratic_recur(n):
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||
if n <= 0: return 0
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# 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
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nums = [0] * n
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return quadratic_recur(n - 1)
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```
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<p align="center"> Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
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### 指数阶 $O(2^n)$
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指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的结点数量为 $2^n - 1$ ，使用 $O(2^n)$ 空间。
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=== "Java"
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```java title="space_complexity_types.java"
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/* 指数阶（建立满二叉树） */
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TreeNode buildTree(int n) {
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if (n == 0) return null;
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TreeNode root = new TreeNode(0);
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root.left = buildTree(n - 1);
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root.right = buildTree(n - 1);
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return root;
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity_types.cpp"
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```
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=== "Python"
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```python title="space_complexity_types.py"
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""" 指数阶（建立满二叉树） """
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def build_tree(n):
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if n == 0: return None
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root = TreeNode(0)
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root.left = build_tree(n - 1)
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root.right = build_tree(n - 1)
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return root
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```
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<p align="center"> Fig. 满二叉树下的指数阶空间复杂度 </p>
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### 对数阶 $O(\log n)$
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对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。
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例如「归并排序」，长度为 $n$ 的数组可以形成高度为 $\log n$ 的递归树，因此空间复杂度为 $O(\log n)$ 。
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再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
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