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comments: true
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# 二分查找
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「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。
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使用二分查找有两个前置条件：
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- **要求输入数据是有序的**，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
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- **二分查找仅适用于数组** ，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。
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## 算法实现
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给定一个长度为 $n$ 的排序数组 `nums` ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为
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$$
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0, 1, 2, \cdots, n-1
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$$
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使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：
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1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间 $[0, 0]$ 仍包含一个元素；
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2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间 $[0, 0)$ 为空；
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### “双闭区间” 实现
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首先，我们先采用 “双闭区间” 的表示，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。
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=== "Step 1"
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=== "Step 2"
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=== "Step 3"
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=== "Step 4"
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=== "Step 5"
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=== "Step 6"
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=== "Step 7"
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二分查找 “双闭区间” 表示下的代码如下所示。
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=== "Java"
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```java title="binary_search.java"
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/* 二分查找（双闭区间） */
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int binarySearch(int[] nums, int target) {
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// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
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int i = 0, j = nums.length - 1;
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// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
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while (i <= j) {
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int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
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if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
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i = m + 1;
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else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
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j = m - 1;
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else // 找到目标元素，返回其索引
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return m;
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}
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// 未找到目标元素，返回 -1
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return -1;
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_search.cpp"
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/* 二分查找（双闭区间） */
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int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
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// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
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int i = 0, j = nums.size() - 1;
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// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
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while (i <= j) {
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int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
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if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
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i = m + 1;
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else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
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j = m - 1;
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else // 找到目标元素，返回其索引
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return m;
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}
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// 未找到目标元素，返回 -1
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return -1;
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}
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```
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### “左闭右开” 实现
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当然，我们也可以使用 “左闭右开” 的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。
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=== "Java"
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```java title="binary_search.java"
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/* 二分查找（左闭右开） */
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int binarySearch1(int[] nums, int target) {
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// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
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int i = 0, j = nums.length;
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// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
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while (i < j) {
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int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
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if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
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i = m + 1;
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else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
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j = m;
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else // 找到目标元素，返回其索引
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return m;
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}
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// 未找到目标元素，返回 -1
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return -1;
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_search.cpp"
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/* 二分查找（左闭右开） */
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int binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {
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// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
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int i = 0, j = nums.size();
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// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
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while (i < j) {
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int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
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if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
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i = m + 1;
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else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
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j = m;
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else // 找到目标元素，返回其索引
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return m;
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}
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// 未找到目标元素，返回 -1
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return -1;
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}
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```
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### 两种表示对比
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对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：
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<div class="center-table" markdown>
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| 表示方法 | 初始化指针 | 缩小区间 | 循环终止条件 |
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| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ |
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| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$ |
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| 左闭右开 $[0, n)$ | $i = 0$ , $j = n$ | $i = m + 1$ , $j = m$ | $i = j$ |
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</div>
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观察发现，在 “双闭区间” 表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 $i$ , $j$ 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，**建议你采用 “双闭区间” 的写法。**
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### 大数越界处理
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当数组长度很大时，加法 $i + j$ 的结果有可能会超出 `int` 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。
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```java
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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int m = (i + j) / 2;
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// 更换为此写法则不会越界
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int m = i + (j - i) / 2;
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```
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## 复杂度分析
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**时间复杂度 $O(\log n)$ ：** 其中 $n$ 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。
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**空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
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## 优缺点
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二分查找效率很高，体现在：
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- **二分查找时间复杂度低。** 对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需要 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
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- **二分查找不需要额外空间。** 相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。
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但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：
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- **二分查找仅适用于有序数据。** 如果输入数据是乱序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
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- **二分查找仅适用于数组。** 由于在二分查找中，访问索引是 ”非连续“ 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。
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- **在小数据量下，线性查找的性能更好。** 在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
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