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归并排序

「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：

1. 划分阶段： 通过递归不断 将数组从中点位置划分开，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
2. 合并阶段： 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 左、右两个短排序数组 合并为 一个长排序数组，直至合并至原数组时完成排序；

Fig. 归并排序两阶段：划分与合并

算法流程

「递归划分」 从顶至底递归地 将数组从中点切为两个子数组 ，直至长度为 1 ；

1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）；
2. 递归执行 1. 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；

「回溯合并」 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 有序数组 ；

需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 每个子数组都是有序的 。因此，合并任务本质是要 将两个有序子数组合并为一个有序数组 。

=== "Step1"

=== "Step2"

=== "Step3"

=== "Step4"

=== "Step5"

=== "Step6"

=== "Step7"

=== "Step8"

=== "Step9"

=== "Step10"

观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。

• 后序遍历： 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
• 归并排序： 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。

=== "Java"

```java title="merge_sort.java"
/**
 * 合并左子数组和右子数组
 * 左子数组区间 [left, mid]
 * 右子数组区间 [mid + 1, right]
 */
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 初始化辅助数组
    int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);   
    // 左子数组的起始索引和结束索引  
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引       
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;                
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return;       // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 递归划分
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算数组中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 回溯合并
    merge(nums, left, mid, right);
}
```

=== "C++"

```cpp title="merge_sort.cpp"
/**
 * 合并左子数组和右子数组
 * 左子数组区间 [left, mid]
 * 右子数组区间 [mid + 1, right]
 */
void merge(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
    // 初始化辅助数组
    vector<int> tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);   
    // 左子数组的起始索引和结束索引  
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引       
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;                
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return;       // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
```

=== "Python"

```python title="merge_sort.py"
"""
合并左子数组和右子数组
左子数组区间 [left, mid]
右子数组区间 [mid + 1, right]
"""
def merge(nums, left, mid, right):
    # 初始化辅助数组 借助 copy模块
    tmp = nums[left:right + 1]
    # 左子数组的起始索引和结束索引
    left_start, left_end = left - left, mid - left
    # 右子数组的起始索引和结束索引
    right_start, right_end = mid + 1 - left, right - left
    # i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    i, j = left_start, right_start
    # 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for k in range(left, right + 1):
        # 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if i > left_end:
            nums[k] = tmp[j]
            j += 1
        # 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        elif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:
            nums[k] = tmp[i]
            i += 1
        # 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else:
            nums[k] = tmp[j]
            j += 1

""" 归并排序 """
def merge_sort(nums, left, right):
    # 终止条件
    if left >= right:
        return                        # 当子数组长度为 1 时终止递归
    # 划分阶段
    mid = (left + right) // 2         # 计算中点
    merge_sort(nums, left, mid)       # 递归左子数组
    merge_sort(nums, mid + 1, right)  # 递归右子数组
    # 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
```

下面重点解释一下合并方法 merge() 的流程：

1. 初始化一个辅助数组 tmp 暂存待合并区间 [left, right] 内的元素，后续通过覆盖原数组 nums 的元素来实现合并；
2. 初始化指针 i , j , k 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
3. 循环判断 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小，将较小的先覆盖至 nums[k] ，指针 i , j 根据判断结果交替前进（指针 k 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。

合并方法 merge() 代码中的主要难点：

• nums 的待合并区间为 [left, right] ，而因为 tmp 只复制了 nums 该区间元素，所以 tmp 对应区间为 [0, right - left] ，需要特别注意代码中各个变量的含义。
• 判断 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小的操作中，还 需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题，即 i > leftEnd 和 j > rightEnd 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。

算法特性

• 时间复杂度 O(n \log n) ： 划分形成高度为 \log n 的递归树，每层合并的总操作数量为 n ，总体使用 O(n \log n) 时间。
• 空间复杂度 O(n) ： 需借助辅助数组实现合并，使用 O(n) 大小的额外空间；递归深度为 \log n ，使用 O(\log n) 大小的栈帧空间。
• 非原地排序： 辅助数组需要使用 O(n) 额外空间。
• 稳定排序： 在合并时可保证相等元素的相对位置不变。
• 非自适应排序： 对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。

链表排序 *

归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，空间复杂度可被优化至 $O(1)$ ，这是因为：

• 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 tmp ；
• 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；

详情参考：148. 排序链表