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二分查找
「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。
使用二分查找有两个前置条件：
- 要求输入数据是有序的，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
- 二分查找仅适用于数组 ，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。
算法实现
给定一个长度为 n 的排序数组 nums ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为
0, 1, 2, \cdots, n-1
使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：
- 双闭区间 $[0, n-1]$ ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间
[0, 0]仍包含一个元素； - 左闭右开 $[0, n)$ ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间
[0, 0)为空；
“双闭区间” 实现
首先，我们先采用 “双闭区间” 的表示，在数组 nums 中查找目标元素 target 的对应索引。
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
=== "Step 5"
=== "Step 6"
=== "Step 7"
二分查找 “双闭区间” 表示下的代码如下所示。
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.size() - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
“左闭右开” 实现
当然，我们也可以使用 “左闭右开” 的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearch1(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.size();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
两种表示对比
对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：
| 表示方法 | 初始化指针 | 缩小区间 | 循环终止条件 |
|---|---|---|---|
双闭区间 [0, n-1] |
i = 0 , j = n-1 |
i = m + 1 , j = m - 1 |
i > j |
左闭右开 [0, n) |
i = 0 , j = n |
i = m + 1 , j = m |
i = j |
观察发现，在 “双闭区间” 表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 i , j 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，建议你采用 “双闭区间” 的写法。
大数越界处理
当数组长度很大时，加法 i + j 的结果有可能会超出 int 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。
=== "Java"
```java
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```
=== "C++"
```cpp
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```
=== "Python"
```py
# Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存）
# 因此无需考虑大数越界问题
```
复杂度分析
时间复杂度 O(\log n) ： 其中 n 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 \log_2 n ，使用 O(\log n) 时间。
空间复杂度 O(1) ： 指针 i , j 使用常数大小空间。
优缺点
二分查找效率很高，体现在：
- 二分查找时间复杂度低。 对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小
n = 2^{20}时，线性查找需要2^{20} = 1048576轮循环，而二分查找仅需要\log_2 2^{20} = 20轮循环。 - 二分查找不需要额外空间。 相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。
但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：
- 二分查找仅适用于有序数据。 如果输入数据是乱序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为
O(n \log n)，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为O(n)，也是非常昂贵的。 - 二分查找仅适用于数组。 由于在二分查找中，访问索引是 ”非连续“ 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。
- 在小数据量下，线性查找的性能更好。 在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量
n较小时，线性查找反而比二分查找更快。