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快速排序
「快速排序 Quick Sort」是一种基于 “分治思想” 的排序算法，速度很快、应用很广。
快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 基准数 ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为：
- 以数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针
i,j指向数组两端； - 设置一个循环，每轮中使用
i/j分别寻找首个比基准数大 / 小的元素，并交换此两元素； - 不断循环步骤
2.，直至i,j相遇时跳出，最终把基准数交换至两个子数组的分界线；
「哨兵划分」执行完毕后，原数组被划分成两个部分，即 左子数组 和 右子数组 ，且满足 左子数组任意元素 < 基准数 < 右子数组任意元素。因此，接下来我们只需要排序两个子数组即可。
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
=== "Step 5"
=== "Step 6"
=== "Step 7"
=== "Step 8"
=== "Step 9"
Fig. 哨兵划分
=== "Java"
``` java title="quick_sort.java"
/* 元素交换 */
void swap(int[] nums, int i, int j) {
int tmp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = tmp;
}
/* 哨兵划分 */
int partition(int[] nums, int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
while (i < j && nums[i] <= nums[left])
i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
}
swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
return i; // 返回基准数的索引
}
```
=== "Python"
```python title="quick_sort.py"
""" 哨兵划分 """
def partition(self, nums, left, right):
# 以 nums[left] 作为基准数
i, j = left, right
while i < j:
while i < j and nums[j] >= nums[left]:
j -= 1 # 从右向左找首个小于基准数的元素
while i < j and nums[i] <= nums[left]:
i += 1 # 从左向右找首个大于基准数的元素
# 元素交换
nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
# 将基准数交换至两子数组的分界线
nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
return i # 返回基准数的索引
```
!!! note "快速排序的分治思想"
哨兵划分的实质是将 **一个长数组的排序问题** 简化为 **两个短数组的排序问题**。
算法流程
- 首先，对数组执行一次「哨兵划分」，得到待排序的 左子数组 和 右子数组 。
- 接下来，对 左子数组 和 右子数组 分别 递归执行「哨兵划分」……
- 直至子数组长度为 1 时 终止递归 ，即可完成对整个数组的排序。
观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。
Fig. 快速排序流程
=== "Java"
```java title="quick_sort.java"
/* 快速排序 */
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止递归
if (left >= right)
return;
// 哨兵划分
int pivot = partition(nums, left, right);
// 递归左子数组、右子数组
quickSort(nums, left, pivot - 1);
quickSort(nums, pivot + 1, right);
}
```
=== "Python"
```python title="quick_sort.py"
""" 快速排序 """
def quick_sort(self, nums, left, right):
# 子数组长度为 1 时终止递归
if left >= right:
return
# 哨兵划分
pivot = self.partition(nums, left, right)
# 递归左子数组、右子数组
self.quick_sort(nums, left, pivot - 1)
self.quick_sort(nums, pivot + 1, right)
```
算法特性
平均时间复杂度 O(n \log n) ： 平均情况下，哨兵划分的递归层数为 \log n ，每层中的总循环数为 n ，总体使用 O(n \log n) 时间。
最差时间复杂度 O(n^2) ： 最差情况下，哨兵划分操作将长度为 n 的数组划分为长度为 0 和 n - 1 的两个子数组，此时递归层数达到 n 层，每层中的循环数为 n ，总体使用 O(n^2) 时间。
空间复杂度 O(n) ： 输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 n 。
原地排序： 只在递归中使用 O(\log n) 大小的栈帧空间。
非稳定排序： 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。
自适应排序： 最差情况下，时间复杂度劣化至 O(n^2) 。
快排为什么快？
从命名能够看出，快速排序在效率方面一定 “有两把刷子” 。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 效率更高 ，这是因为：
- 出现最差情况的概率很低： 虽然快速排序的最差时间复杂度为
O(n^2)，不如归并排序，但绝大部分情况下，快速排序可以达到O(n \log n)的复杂度。 - 缓存使用效率高： 哨兵划分操作时，将整个子数组加载入缓存中，访问元素效率很高。而诸如「堆排序」需要跳跃式访问元素，因此不具有此特性。
- 复杂度的常数系数低： 在提及的三种算法中，快速排序的 比较、赋值、交换 三种操作的总体数量最少（类似于「插入排序」快于「冒泡排序」的原因）。
基准数优化
普通快速排序在某些输入下的时间效率变差。 举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 左子数组长度为 n - 1 、右子数组长度为 $0$ 。这样进一步递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$ ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。
为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化一下基准数的选取策略。首先，在哨兵划分中，我们可以 随机选取一个元素作为基准数 。但如果运气很差，每次都选择到比较差的基准数，那么效率依然不好。
进一步地，我们可以在数组中选取 3 个候选元素（一般为数组的首、尾、中点元素），并将三个候选元素的中位数作为基准数，这样基准数 “既不大也不小” 的概率就大大提升了。当然，如果数组很长的话，我们也可以选取更多候选元素，来进一步提升算法的稳健性。采取该方法后，时间复杂度劣化至 O(n^2) 的概率极低。
=== "Java"
```java title="quick_sort.java"
/* 选取三个元素的中位数 */
int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
// 使用了异或操作来简化代码
// 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]))
return left;
else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
return mid;
else
return right;
}
/* 哨兵划分（三数取中值） */
int partition(int[] nums, int left, int right) {
// 选取三个候选元素的中位数
int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 下同省略...
}
```
=== "Python"
```python title="quick_sort.py"
""" 选取三个元素的中位数 """
def median_three(self, nums, left, mid, right):
# 使用了异或操作来简化代码
# 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
if (nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]):
return left
elif (nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] > nums[right]):
return mid
return right
""" 哨兵划分（三数取中值） """
def partition(self, nums, left, right):
# 以 nums[left] 作为基准数
med = self.median_three(nums, left, (left + right) // 2, right)
# 将中位数交换至数组最左端
nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
# 以 nums[left] 作为基准数
# 下同省略...
```
尾递归优化
普通快速排序在某些输入下的空间效率变差。 仍然以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 0 ，那么将形成一个高度为 n - 1 的递归树，此时使用的栈帧空间大小劣化至 O(n) 。
为了避免栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，判断两个子数组的长度大小，仅递归排序较短的子数组。由于较短的子数组长度不会超过 \frac{n}{2} ，因此这样做能保证递归深度不超过 \log n ，即最差空间复杂度被优化至 O(\log n) 。
=== "Java"
```java title="quick_sort.java"
/* 快速排序（尾递归优化） */
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
} else {
quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
}
}
}
```
=== "Python"
```python title="quick_sort.py"
""" 快速排序（尾递归优化） """
def quick_sort(self, nums, left, right):
# 子数组长度为 1 时终止
while left < right:
# 哨兵划分操作
pivot = self.partition(nums, left, right)
# 对两个子数组中较短的那个执行快排
if pivot - left < right - pivot:
self.quick_sort(nums, left, pivot - 1) # 递归排序左子数组
left = pivot + 1 # 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
else:
self.quick_sort(nums, pivot + 1, right) # 递归排序右子数组
right = pivot - 1 # 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
```