795 lines
18 KiB
Markdown
795 lines
18 KiB
Markdown
---
|
||
comments: true
|
||
---
|
||
|
||
# 空间复杂度
|
||
|
||
「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势** 。这个概念与时间复杂度很类似。
|
||
|
||
## 算法相关空间
|
||
|
||
算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：
|
||
|
||
- 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
|
||
- 「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；
|
||
- 「输出空间」用于存储算法的输出数据；
|
||
|
||
!!! tip
|
||
|
||
通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
|
||
|
||
暂存空间可分为三个部分：
|
||
|
||
- 「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 **常量、变量、对象** 等。
|
||
- 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。
|
||
- 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，**在实际统计中一般忽略不计**。
|
||
|
||
|
||
|
||
<p align="center"> Fig. 算法使用的相关空间 </p>
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title=""
|
||
/* 类 */
|
||
class Node {
|
||
int val;
|
||
Node next;
|
||
Node(int x) { val = x; }
|
||
}
|
||
|
||
/* 函数（或称方法） */
|
||
int function() {
|
||
// do something...
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
||
final int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title=""
|
||
/* 结构体 */
|
||
struct Node {
|
||
int val;
|
||
Node *next;
|
||
Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
|
||
};
|
||
|
||
/* 函数（或称方法） */
|
||
int func() {
|
||
// do something...
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
||
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title=""
|
||
""" 类 """
|
||
class Node:
|
||
def __init__(self, x):
|
||
self.val = x # 结点值
|
||
self.next = None # 指向下一结点的指针（引用）
|
||
|
||
""" 函数（或称方法） """
|
||
def function():
|
||
# do something...
|
||
return 0
|
||
|
||
def algorithm(n): # 输入数据
|
||
b = 0 # 暂存数据（变量）
|
||
node = Node(0) # 暂存数据（对象）
|
||
c = function() # 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c # 输出数据
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
## 推算方法
|
||
|
||
空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计 “计算操作数量” 变为统计 “使用空间大小” 。与时间复杂度不同的是，**我们一般只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
|
||
|
||
**最差空间复杂度中的 “最差” 有两层含义**，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。
|
||
|
||
- **以最差输入数据为准。** 当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但是当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
|
||
- **以算法运行过程中的峰值内存为准。** 程序在执行最后一行之前，使用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title=""
|
||
void algorithm(int n) {
|
||
int a = 0; // O(1)
|
||
int[] b = new int[10000]; // O(1)
|
||
if (n > 10)
|
||
int[] nums = new int[n]; // O(n)
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title=""
|
||
void algorithm(int n) {
|
||
int a = 0; // O(1)
|
||
vector<int> b(10000); // O(1)
|
||
if (n > 10)
|
||
vector<int> nums(n); // O(n)
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title=""
|
||
def algorithm(n):
|
||
a = 0 # O(1)
|
||
b = [0] * 10000 # O(1)
|
||
if n > 10:
|
||
nums = [0] * n # O(n)
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。** 例如函数 `loop()`，在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而使用 $O(n)$ 的栈帧空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title=""
|
||
int function() {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
void loop(int n) {
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
function();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
void recur(int n) {
|
||
if (n == 1) return;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title=""
|
||
int func() {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
void loop(int n) {
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
func();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
void recur(int n) {
|
||
if (n == 1) return;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title=""
|
||
def function():
|
||
# do something
|
||
return 0
|
||
|
||
""" 循环 O(1) """
|
||
def loop(n):
|
||
for _ in range(n):
|
||
function()
|
||
|
||
""" 递归 O(n) """
|
||
def recur(n):
|
||
if n == 1: return
|
||
return recur(n - 1)
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
## 常见类型
|
||
|
||
设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
|
||
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
|
||
<p align="center"> Fig. 空间复杂度的常见类型 </p>
|
||
|
||
!!! tip
|
||
|
||
部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
|
||
|
||
### 常数阶 $O(1)$
|
||
|
||
常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
|
||
|
||
需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity_types.java"
|
||
/* 常数阶 */
|
||
void constant(int n) {
|
||
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
|
||
final int a = 0;
|
||
int b = 0;
|
||
int[] nums = new int[10000];
|
||
ListNode node = new ListNode(0);
|
||
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
int c = 0;
|
||
}
|
||
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
function();
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
/* 常数阶 */
|
||
void constant(int n) {
|
||
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
|
||
const int a = 0;
|
||
int b = 0;
|
||
vector<int> nums(10000);
|
||
ListNode* node = new ListNode(0);
|
||
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
int c = 0;
|
||
}
|
||
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
func();
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 常数阶 """
|
||
def constant(n):
|
||
# 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
|
||
a = 0
|
||
nums = [0] * 10000
|
||
node = ListNode(0)
|
||
# 循环中的变量占用 O(1) 空间
|
||
for _ in range(n):
|
||
c = 0
|
||
# 循环中的函数占用 O(1) 空间
|
||
for _ in range(n):
|
||
function()
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity_types.go"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title="space_complexity_types.js"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity_types.ts"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity_types.c"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity_types.cs"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
### 线性阶 $O(n)$
|
||
|
||
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity_types.java"
|
||
/* 线性阶 */
|
||
void linear(int n) {
|
||
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
|
||
int[] nums = new int[n];
|
||
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
|
||
List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
nodes.add(new ListNode(i));
|
||
}
|
||
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
|
||
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
map.put(i, String.valueOf(i));
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
/* 线性阶 */
|
||
void linear(int n) {
|
||
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
|
||
vector<int> nums(n);
|
||
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
|
||
vector<ListNode*> nodes;
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
nodes.push_back(new ListNode(i));
|
||
}
|
||
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
|
||
unordered_map<int, string> map;
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
map[i] = to_string(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 线性阶 """
|
||
def linear(n):
|
||
# 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
|
||
nums = [0] * n
|
||
# 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
|
||
mapp = {}
|
||
for i in range(n):
|
||
mapp[i] = str(i)
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity_types.go"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title="space_complexity_types.js"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity_types.ts"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity_types.c"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity_types.cs"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity_types.java"
|
||
/* 线性阶（递归实现） */
|
||
void linearRecur(int n) {
|
||
System.out.println("递归 n = " + n);
|
||
if (n == 1) return;
|
||
linearRecur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
/* 线性阶（递归实现） */
|
||
void linearRecur(int n) {
|
||
cout << "递归 n = " << n << endl;
|
||
if (n == 1) return;
|
||
linearRecur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 线性阶（递归实现） """
|
||
def linearRecur(n):
|
||
print("递归 n =", n)
|
||
if n == 1: return
|
||
linearRecur(n - 1)
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity_types.go"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title="space_complexity_types.js"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity_types.ts"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity_types.c"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity_types.cs"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
<p align="center"> Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
|
||
|
||
### 平方阶 $O(n^2)$
|
||
|
||
平方阶常见于元素数量与 $n$ 成平方关系的矩阵、图。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity_types.java"
|
||
/* 平方阶 */
|
||
void quadratic(int n) {
|
||
// 矩阵占用 O(n^2) 空间
|
||
int [][]numMatrix = new int[n][n];
|
||
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
|
||
List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
|
||
for (int j = 0; j < n; j++) {
|
||
tmp.add(0);
|
||
}
|
||
numList.add(tmp);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
/* 平方阶 */
|
||
void quadratic(int n) {
|
||
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
|
||
vector<vector<int>> numMatrix;
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
vector<int> tmp;
|
||
for (int j = 0; j < n; j++) {
|
||
tmp.push_back(0);
|
||
}
|
||
numMatrix.push_back(tmp);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 平方阶 """
|
||
def quadratic(n):
|
||
# 二维列表占用 O(n^2) 空间
|
||
num_matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity_types.go"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title="space_complexity_types.js"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity_types.ts"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity_types.c"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity_types.cs"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorihtm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体使用 $O(n^2)$ 空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity_types.java"
|
||
/* 平方阶（递归实现） */
|
||
int quadraticRecur(int n) {
|
||
if (n <= 0) return 0;
|
||
// 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
|
||
int[] nums = new int[n];
|
||
return quadraticRecur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
/* 平方阶（递归实现） */
|
||
int quadraticRecur(int n) {
|
||
if (n <= 0) return 0;
|
||
vector<int> nums(n);
|
||
cout << "递归 n = " << n << " 中的 nums 长度 = " << nums.size() << endl;
|
||
return quadraticRecur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 平方阶（递归实现） """
|
||
def quadratic_recur(n):
|
||
if n <= 0: return 0
|
||
# 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
|
||
nums = [0] * n
|
||
return quadratic_recur(n - 1)
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity_types.go"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title="space_complexity_types.js"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity_types.ts"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity_types.c"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity_types.cs"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
<p align="center"> Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
|
||
|
||
### 指数阶 $O(2^n)$
|
||
|
||
指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的结点数量为 $2^n - 1$ ，使用 $O(2^n)$ 空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity_types.java"
|
||
/* 指数阶（建立满二叉树） */
|
||
TreeNode buildTree(int n) {
|
||
if (n == 0) return null;
|
||
TreeNode root = new TreeNode(0);
|
||
root.left = buildTree(n - 1);
|
||
root.right = buildTree(n - 1);
|
||
return root;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity_types.cpp"
|
||
/* 指数阶（建立满二叉树） */
|
||
TreeNode* buildTree(int n) {
|
||
if (n == 0) return nullptr;
|
||
TreeNode* root = new TreeNode(0);
|
||
root->left = buildTree(n - 1);
|
||
root->right = buildTree(n - 1);
|
||
return root;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity_types.py"
|
||
""" 指数阶（建立满二叉树） """
|
||
def build_tree(n):
|
||
if n == 0: return None
|
||
root = TreeNode(0)
|
||
root.left = build_tree(n - 1)
|
||
root.right = build_tree(n - 1)
|
||
return root
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity_types.go"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```js title="space_complexity_types.js"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity_types.ts"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity_types.c"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity_types.cs"
|
||
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
<p align="center"> Fig. 满二叉树下的指数阶空间复杂度 </p>
|
||
|
||
### 对数阶 $O(\log n)$
|
||
|
||
对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。
|
||
|
||
例如「归并排序」，长度为 $n$ 的数组可以形成高度为 $\log n$ 的递归树，因此空间复杂度为 $O(\log n)$ 。
|
||
|
||
再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
|