Add quick sort.

README.md

@@ -1,10 +1,33 @@
-# Hello 算法
+<p align="center">
+  <a href="https://krahets.github.io/hello-algo/">
+    <img src="docs/index.assets/conceptual_rendering.png" width="220">
+  </a>
+</p>
 
-[<img src="docs/index.assets/conceptual_rendering.png" height="260" />](https://krahets.github.io/hello-algo/)
+<h3 align="center">
+  《 Hello，算法 》
+</h3>
 
-动画图解、能运行、可讨论的
+<p align="center"> 
+  动画图解、能运行、可讨论的</br>数据结构与算法快速入门教程
+</p>
 
-数据结构与算法快速入门教程
+<p align="center">
+  <a href="https://krahets.github.io/hello-algo/">
+    <img src="docs/index.assets/demo.png" width="700">
+  </a>
+</p>
+
+<p align="center">
+  <em>
+    前往阅读 -
+    <a href="https://hello-algo.pages.dev/">
+    hello-algo.pages.dev
+    </a>
+  </em>
+</p>
+
+---
 
 ## 更新日志
 
@@ -27,6 +50,7 @@
 | 更新：关于本书</br>新增：如何使用本书</br>新增：一起参与创作 | 2022-11-16 |
 | 新增：查找算法 | 2022-11-19 |
 | 更新：Markdown Stylesheet</br>新增：冒泡排序、插入排序 | 2022-11-21 |
+| 新增：快速排序 | 2022-11-22 |
 
 ## License
 

docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -693,3 +693,7 @@ $$
 对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 $\frac{n}{2}$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)$ 。
 
 但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。这种情况下，我们一般使用最差时间复杂度来作为算法效率的评判标准。
+
+!!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号？"
+
+    实际中我们经常使用「大 $O$ 符号」来表示「平均复杂度」，这样严格意义上来说是不规范的。这可能是因为 $O$ 符号实在是太朗朗上口了。</br>如果在本书和其他资料中看到类似 **平均时间复杂度 $O(n)$** 的表述，请你直接理解为 $\Theta(n)$ 即可。

docs/chapter_sorting/bubble_sort.md

@@ -44,11 +44,11 @@ comments: true
 
 ## 算法流程
 
-设数组长度为 $n$ ，完成第一轮「冒泡」后，数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素。
+1. 设数组长度为 $n$ ，完成第一轮「冒泡」后，数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素。
 
-同理，对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。
+2. 同理，对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。
 
-以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」，即可完成整个数组的排序**。
+3. 以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」，即可完成整个数组的排序**。
 
 ![bubble_sort](bubble_sort.assets/bubble_sort.png)
 
@@ -72,7 +72,7 @@ comments: true
     }
     ```
 
-## 算法分析
+## 算法特性
 
 **时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 各轮「冒泡」遍历的数组长度为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此使用 $O(n^2)$ 时间。
 

docs/chapter_sorting/insertion_sort.md

@@ -4,21 +4,21 @@ comments: true
 
 # 插入排序
 
-顾名思义，「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 **数组插入操作** 的排序算法。
+「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 **数组插入操作** 的排序算法。
 
-「插入操作」思想：选定数组的某个元素 `base` ，将 `base` 与其左边的元素依次对比大小，并 “插入” 到正确位置。
+「插入操作」的思想：选定数组的某个元素为基准数 `base` ，将 `base` 与其左边的元素依次对比大小，并 “插入” 到正确位置。
 
-然而，由于数组元素是连续的，因此我们无法直接把 `base` 插入到目标位置，而是需要把从正确位置到 `base` 之间的所有元素向右移动一位。
+然而，由于数组在内存中的存储方式是连续的，我们无法直接把 `base` 插入到目标位置，而是需要将从目标位置到 `base` 之间的所有元素向右移动一位（本质上是一次数组插入操作）。
 
 ![insertion_operation](insertion_sort.assets/insertion_operation.png)
 
 ## 算法流程
 
-第 1 轮先选取数组的 **第 2 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后， **数组前 2 个元素已完成排序**。
+1. 第 1 轮先选取数组的 **第 2 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后， **数组前 2 个元素已完成排序**。
 
-第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后， **数组前 3 个元素已完成排序**。
+2. 第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后， **数组前 3 个元素已完成排序**。
 
-以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后 **所有元素已完成排序**。
+3. 以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后 **所有元素已完成排序**。
 
 ![insertion_sort](insertion_sort.assets/insertion_sort.png)
 
@@ -40,9 +40,9 @@ comments: true
     }
     ```
 
-## 算法分析
+## 算法特性
 
-**时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 各轮插入操作最多循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。
+**时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 最差情况下，各轮插入操作循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。
 
 **空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
 
@@ -66,6 +66,3 @@ comments: true
 - 对于 **短数组**，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 $O(n^2)$ ；
 
 在数组较短时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用，此时插入排序运行地更快。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。
-
-
-

docs/chapter_sorting/quick_sort.md

@@ -4,3 +4,174 @@ comments: true
 
 # 快速排序
 
+「快速排序 Quick Sort」是一种基于分治思想的排序算法，速度很快、应用很广。
+
+快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 **基准数** ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为：
+
+1. 以数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 `i` , `j` 指向数组两端；
+2. 设置一个循环，每轮中使用 `i` / `j` 分别寻找首个比基准数大 / 小的元素，并交换此两元素；
+3. 不断循环步骤 `2.` ，直至 `i` , `j` 相遇时跳出，最终把基准数交换至两个子数组的分界线；
+
+「哨兵划分」执行完毕后，原数组被划分成两个部分，即 **左子数组** 和 **右子数组** ，且满足 **左子数组任意元素 < 基准数 < 右子数组任意元素**。因此，接下来我们只需要排序两个子数组即可。
+
+=== "Step 1"
+    ![pivot_division_step1](quick_sort.assets/pivot_division_step1.png)
+=== "Step 2"
+    ![pivot_division_step2](quick_sort.assets/pivot_division_step2.png)
+=== "Step 3"
+    ![pivot_division_step3](quick_sort.assets/pivot_division_step3.png)
+=== "Step 4"
+    ![pivot_division_step4](quick_sort.assets/pivot_division_step4.png)
+=== "Step 5"
+    ![pivot_division_step5](quick_sort.assets/pivot_division_step5.png)
+=== "Step 6"
+    ![pivot_division_step6](quick_sort.assets/pivot_division_step6.png)
+=== "Step 7"
+    ![pivot_division_step7](quick_sort.assets/pivot_division_step7.png)
+=== "Step 8"
+    ![pivot_division_step8](quick_sort.assets/pivot_division_step8.png)
+=== "Step 9"
+    ![pivot_division_step9](quick_sort.assets/pivot_division_step9.png)
+
+哨兵划分实现代码如下。
+
+=== "Java"
+
+    ``` java
+    /* 哨兵划分 */
+    int partition(int[] nums, int left, int right) {
+        // 以 nums[left] 作为基准数
+        int i = left, j = right;
+        while (i < j) {
+            while (i < j && nums[j] >= nums[left])
+                j--;           // 从右向左找首个小于基准数的元素
+            while (i < j && nums[i] <= nums[left])
+                i++;           // 从左向右找首个大于基准数的元素
+            swap(nums, i, j);  // 交换这两个元素
+        }
+        swap(nums, i, left);   // 将基准数交换至两子数组的分界线
+        return i;              // 返回基准数的索引
+    }
+    
+    /* 元素交换 */
+    void swap(int[] nums, int i, int j) {
+        int tmp = nums[i];
+        nums[i] = nums[j];
+        nums[j] = tmp;
+    }
+    ```
+
+!!! note "快速排序的分治思想"
+
+    哨兵划分的实质是将 **一个长数组的排序问题** 简化为 **两个短数组的排序问题**。
+
+## 算法流程
+
+1. 首先，对数组执行一次「哨兵划分」，得到待排序的 **左子数组** 和 **右子数组** 。
+2. 接下来，对 **左子数组** 和 **右子数组** 分别 **递归执行**「哨兵划分」……
+3. 直至子数组长度为 1 时 **终止递归** ，即可完成对整个数组的排序。
+
+观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。
+
+![quick_sort](quick_sort.assets/quick_sort.png)
+
+=== "Java"
+
+    ```java
+    void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
+        // 子数组长度为 1 时终止递归
+        if (l >= r) return;
+        // 哨兵划分
+        int pivot = partition(nums, left, right);
+        // 递归左子数组、右子数组
+        quickSort(nums, left, pivot - 1);
+        quickSort(nums, pivot + 1, right);
+    }
+    ```
+
+## 算法特性
+
+**平均时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
+
+**最差时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 最差情况下，哨兵划分操作将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
+
+**空间复杂度 $O(n)$ ：** 输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。
+
+**原地性：** 只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间，为 **原地排序** 。
+
+**稳定性：** 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置，为 **非稳定排序** 。
+
+**自适应：** 最差时间复杂度是 $O(n^2)$ ，为 **自适应排序** 。
+
+## 快排为什么快？
+
+从命名能够看出，快速排序在效率方面一定 “有两把刷子” 。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 **效率更高** ，这是因为：
+
+- **出现最差情况的概率很低：** 虽然快速排序的最差时间复杂度为 $O(n^2)$ ，不如归并排序，但绝大部分情况下，快速排序可以达到 $O(n \log n)$ 的复杂度。
+- **缓存使用效率高：** 哨兵划分操作时，将整个子数组加载入缓存中，访问元素效率很高。而诸如「堆排序」需要跳跃式访问元素，因此不具有此特性。
+- **复杂度的常数系数低：** 在提及的三种算法中，快速排序的 **比较**、**赋值**、**交换** 三种操作的总体数量最少（类似于「插入排序」快于「冒泡排序」的原因）。
+
+## 基准数优化
+
+**普通快速排序在某些输入下的时间效率变差。** 举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 **左子数组长度为 $n - 1$ 、右子数组长度为 $0$** 。这样进一步递归下去，**每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$** ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。
+
+为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化一下基准数的选取策略。首先，在哨兵划分中，我们可以 **随机选取一个元素作为基准数** 。但如果运气很差，每次都选择到比较差的基准数，那么效率依然不好。
+
+进一步地，我们可以在数组中选取 3 个候选元素（一般为数组的首、尾、中点元素），**并将三个候选元素的中位数作为基准数**，这样基准数 “既不大也不小” 的概率就大大提升了。当然，如果数组很长的话，我们也可以选取更多候选元素，来进一步提升算法的稳健性。采取该方法后，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 的概率极低。
+
+=== "Java"
+
+    ```java
+    /* 选取三个元素的中位数 */
+    int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
+        // 使用了异或操作来简化代码
+        // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
+        if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right])) 
+            return left;
+        else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right])) 
+            return mid;
+        else
+            return right;
+    }
+    
+    /* 哨兵划分 */
+    int partition(int[] nums, int left, int right) {
+        // 选取三个候选元素的中位数
+        int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
+        // 将中位数交换至数组最左端
+        swap(left, med);
+        // 继续以 nums[left] 作为基准数
+        // 下同...
+    }
+    ```
+
+## 尾递归优化
+
+**普通快速排序在某些输入下的空间效率变差。** 仍然以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 0 ，那么将形成一个高度为 $n - 1$ 的递归树，此时使用的栈帧空间大小劣化至 $O(n)$ 。
+
+为了避免栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，判断两个子数组的长度大小，仅递归排序较短的子数组。由于较短的子数组长度不会超过 $\frac{n}{2}$ ，因此这样做能保证递归深度不超过 $\log n$ ，即最差空间复杂度被优化至 $O(\log n)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java
+    /* 快速排序（尾递归优化）*/
+    void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
+        // 子数组长度为 1 时终止
+        while (left < right) {
+            // 哨兵划分操作
+            int pivot = partition(nums, left, right);
+            // 对两个子数组中较短的那个执行快排
+            if (pivot - left < right - pivot) {
+                // 递归排序左子数组
+                quickSort(nums, left, pivot - 1);
+                // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
+                left = pivot + 1;
+            } else {
+                // 递归排序右子数组
+                quickSort(nums, pivot + 1, right);
+                // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
+                right = pivot - 1;
+            }
+        }
+    }
+    ```

docs/chapter_tree/binary_search_tree.md

@@ -219,7 +219,7 @@ comments: true
 
 ## 二叉搜索树的退化
 
-二叉搜索树的理想状态是「完美二叉树」，我们称这样的二叉树是 “平衡” 的，此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意结点。
+理想情况下，我们希望二叉搜索树的是 “左右平衡” 的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意结点。
 
 如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，**则可能导致二叉树退化为链表**，此时各种操作的时间复杂度也退化之 $O(n)$ 。
 

docs/index.md

@@ -8,13 +8,12 @@ hide:
 
     <div class="result" markdown>
     ![conceptual_rendering](index.assets/conceptual_rendering.png){ align=left width=300 }
-    </br>
-    </br>
-    </br>
-    <h1 style="text-align:center"> 《 Hello，算法 》 </h1>
-    <h3 style="text-align:center"> 动画图解、能运行、可讨论的</br>数据结构与算法快速入门教程 </h3>
-    <p style="text-align:center"> [@Krahets](https://leetcode.cn/u/jyd/) </p>
-    <p style="text-align:center"> [![github-stars](https://img.shields.io/github/stars/krahets/hello-algo?style=social)](https://github.com/krahets/hello-algo) </p>
+    </br></br></br>
+    <p align="center">
+    <h1 align="center"> 《 Hello，算法 》 </h1>
+    <h3 align="center"> 动画图解、能运行、可讨论的</br>数据结构与算法快速入门教程 </h3>
+    <h3 align="center"> [![github-stars](https://img.shields.io/github/stars/krahets/hello-algo?style=social)](https://github.com/krahets/hello-algo) </h3>
+    </p>
     </br>
     </div>
 

mkdocs.yml

@@ -158,7 +158,7 @@ nav:
   - 排序算法:
     - 冒泡排序: chapter_sorting/bubble_sort.md
     - 插入排序: chapter_sorting/insertion_sort.md
-    - 归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md
     - 快速排序: chapter_sorting/quick_sort.md
+    - 归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md
   - 参考文献:
     - chapter_reference/index.md